вероятность наложения двух отрезков.

[kisupov]

Имеется отрезок $\[A\]$ длины $\[{{L}_{1}}\]$. Наугад на $\[A\]$ «бросаются» два отрезка $\[B\]$ и $\[C\]$ длины $\[{{L}_{2}}\]$, $\[{{L}_{2}}\le 0.5{{L}_{1}}\]$. Требуется найти вероятность того, что $\[B\]$ и $\[C\]$ «накладываются» друг на друга, т.е. имеют общие точки.

Ответ $\[\frac{2{{L}_{2}}}{{{L}_{1}}}\]$ правильный?

[TOTAL]

kisupov в сообщении #725769 писал(а):

Ответ $\[\frac{2{{L}_{2}}}{{{L}_{1}}}\]$ правильный?

Как получен?

[provincialka]

Нет, неверно. Посмотрите "задачу о встрече", она очень похожа.

[gris]

Можно применить метод "геометрической вероятности". Положение бросаемого отрезка можно задать положением его середины.

[kisupov]

TOTAL в сообщении #725776 писал(а):

Как получен?

через геометрическую вероятность, как сказал уважаемый gris.

Известно, что вероятность попадания наугад выбранной точки из отрезка $\[A\]$ в отрезок $\[B\]$, включенный в $\[A\]$, определяется отношением длин $\[\frac{{{L}_{2}}}{{{L}_{1}}}\]$. Пусть $\[t\]$ – точка, делящая пополам отрезок $\[C\]$. Тогда $\[B\]$ и $\[C\]$ будут пересекаться, если $\[t\]$ попадет в область длиной $\[0.5{{L}_{2}}+{{L}_{2}}+0.5{{L}_{2}}\]$. Вероятность этого – $\[\frac{2{{L}_{2}}}{{{L}_{1}}}\]$.

Но сейчас понял, что еще не рассмотренными оказались граничные случаи.

provincialka в сообщении #725777 писал(а):

Нет, неверно. Посмотрите "задачу о встрече", она очень похожа.

Посчитал, получается $\[\frac{L_{1}^{2}-{{({{L}_{1}}-{{L}_{2}})}^{2}}}{L_{1}^{2}}\]$

[gris]

Я рассуждал немного по-другому.
Слова "отрезок падает на отрезок", кстати, можно понимать по-разному. Либо падающий отрезок целиком принадлежит лежащему, либо имеет с ним хотя бы одну точку пересечения. Мне кажется, в условии задан первый вариант, тогда если $L_2=L_1/2$, то вероятность пересечения равна единице. Проверьте.
Если мы примем, что падающий отрезок падает на лежащий целиком, то его середина будет равномерно распределена в некоторых пределах. А пересекаются два маленьких одинаковых отрезка тогда, когда расстояние между их серединами меньше их длины. Получается симпатичная картинка с шестиугольником внутри квадрата (если меня не подводит геометрическое воображение )

[provincialka]

Именно шестиугольник. Как и в задаче о встрече. Нужно только немного "обрезать края".

[gris]

Очень похоже. Я просто не помню задачу о встрече

[kisupov]

если идти по задаче о встрече, то получается такой.

[provincialka]

Только каждый встречающийся может прийти в любой момент, а середина малого отрезка не может попасть на конец большого, если он весь должен там уместиться. Если условие именно такое, уменьшите большой отрезок.

[kisupov]

provincialka в сообщении #725931 писал(а):

Только каждый встречающийся может прийти в любой момент

если я правильно понял, то это ни на что не повлияет.

[provincialka]

Повлияет. Отрезок, в который может попасть середина бросаемого, имеет длину $L_1-L_2$
я, кстати, следила за концом отрезков.

проверка. Если $L_1=2L_2$, вероятность равна 1.

[kisupov]

спасибо. еще вопрос, если начало (или середина, без разницы) отрезков B и C может располагаться лишь в узлах воображаемой равномерной дискретной шкалы, наложенной на отрезок A, то справедливо ли считать вероятности пересечения отрезков таким же способом?

[TOTAL]

kisupov в сообщении #726527 писал(а):

то справедливо ли считать вероятности пересечения отрезков таким же способом?

Каким таким же? Указывайте конкретно способ.

[kisupov]

TOTAL в сообщении #726529 писал(а):

Каким таким же? Указывайте конкретно способ.

способом геометрической вероятности, точно так же как на рисунке ниже.


или на квадрат следует дополнительно накладывать сетку?