Найти площадь части синусоиды - как?

[led9]

Найти площадь части синусоиды от 0 до pi/2 в зависимости от частоты этой синусоиды(под частотой я имею в виду множитель b в формуле y:=a*sin(b*x)

То есть -
Дано: y:=a*sin(b*x)
Надо: найти площадь четверти периода этой синусоиды, причём в общем виде, что бы в ответной формуле задавать переменную b и получать площадь синусоиды частоты b

Понятно что взять интеграл, но это и не получается, не силён я в них.
Подскажите, пожалуйста.

[photon]

led9 писал(а):

Понятно что взять интеграл, но это и не получается, не силён я в них.

Если Вы хотите научиться сам считать площадь под кривой, то придется-таки осваивать интегралы, если для Вас важен только ответ - мат.пакеты вам в помощь: даже MathCAD даст вам аналитическое решение

[led9]

photon
мне правда ответ нужен, системы пробовал - не дают ответ. Спрашивал в реале - говорят отношение площадей двух синусоид разных частот, если взять обе по модулю, а затем вычислить площадь - одинаково. как это я не понимаю, но вижу что у синусоид с меньшей частотой горбы толще и площади там больше..
у синусоиды с большей частотой горбы чаще, но - они не прямые эти горбы, неужели если частота в два раза больше, то два кривых горба в точности сравняются с одним по площади?

[photon]

вроде не ошибся, но Вы проверьте
$S_{(0,\frac{\pi}{2b})}(a,b)=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2b}}a\sin bx dx=$ $-\frac a b \cos bx\left |_0^{\frac{\pi}{2b}}=\frac a b$

[Толь Толич]

Думаю, будет так:
Площадь четверти синусоиды, в зависимости от ее частоты f выражается формулой:
$$S_\frac \pi 2=\int_{0}^{\frac \pi 2}asin \omega tdt=-\frac a \omega cos \omega t\left|\begin{array} \frac^{\frac \pi 2} \\_0\end{array}=-\frac a \omega \left[cos \frac \pi 2 \omega -cos0 \right]=\frac a \omega \left[1-cos \frac \pi 2 \omega \right]=\frac a {2 \pi f}\left[1-cos(\pi^2f)\right].
Если нужна какая-либо часть этой площади, то меняем только верхний предел интеграла, вместо $$\frac \pi 2 подставляем $$\frac \pi {2k}}, где k - коэффициент, обозначающий, на какую часть мы желаем укоротить эту четвертинку синусоиды. Формула на выходе в таком случае будет:
$$S_\frac \pi {2k}=\frac a {2 \pi f}\left[1-cos(\frac {\pi^2f}k)\right].

P.S.: Видимо под b подразумевалась циклическая частота $$\omega.

[незваный гость]

«Интегралы нам што! дробя вот заедает…»

1) Четверть периода равны $\pi/2$ толькко если $b = 1$. В остальных случаях, как и указал photon, это $\frac{\pi}{2 b}$.

2) Под $b$ подразумевается, видимо, $b$. Другое дело, что в физики и инженеры традиционно используют другую букву. Идея поменять обозначения (по сравнению с условием задачи) особенно хорошо запутывает тех, кто пытается понять решение.

3) Если же аккуратно подставить правильный верхний предел, то получится в точности формула photonа.

[AD]

На примитивном уровне можно считать так:

Синусоида $y=\sin x$ имеет площадь $1$ под графиком от $0$ до $\pi/2$. Тогда синусоида $y=a\sin bx$, полученная растяжением вдоль оси $y$ в $a$ раз и сжатием вдоль оси $x$ в $b$ раз, будет, конечно, иметь площадь $a/b$. Зависимость легко угадать, проблема лишь в том, чтобы найти какую-нибудь одну синусоиду.

led9 писал(а):

неужели если частота в два раза больше, то два кривых горба в точности сравняются с одним по площади?

$a/b$ - это мы посчитали площадь одного горба (потом исправил: ой-ой-ой, даже половинки!). Да, они сравняются по площади, потому что мы как раз в два раза их и сжали, и их стало в два раза больше.