2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти площадь части синусоиды - как?
Сообщение13.07.2007, 13:05 


13/07/07
2
Найти площадь части синусоиды от 0 до pi/2 в зависимости от частоты этой синусоиды(под частотой я имею в виду множитель b в формуле y:=a*sin(b*x)

То есть -
Дано: y:=a*sin(b*x)
Надо: найти площадь четверти периода этой синусоиды, причём в общем виде, что бы в ответной формуле задавать переменную b и получать площадь синусоиды частоты b

Понятно что взять интеграл, но это и не получается, не силён я в них.
Подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2007, 13:10 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12062
led9 писал(а):
Понятно что взять интеграл, но это и не получается, не силён я в них.

:?

Если Вы хотите научиться сам считать площадь под кривой, то придется-таки осваивать интегралы, если для Вас важен только ответ - мат.пакеты вам в помощь: даже MathCAD даст вам аналитическое решение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2007, 13:13 


13/07/07
2
photon
мне правда ответ нужен, системы пробовал - не дают ответ. Спрашивал в реале - говорят отношение площадей двух синусоид разных частот, если взять обе по модулю, а затем вычислить площадь - одинаково. как это я не понимаю, но вижу что у синусоид с меньшей частотой горбы толще :) и площади там больше..
у синусоиды с большей частотой горбы чаще, но - они не прямые эти горбы, неужели если частота в два раза больше, то два кривых горба в точности сравняются с одним по площади?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2007, 13:36 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12062
вроде не ошибся, но Вы проверьте ;)
$S_{(0,\frac{\pi}{2b})}(a,b)=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2b}}a\sin bx dx=$ $-\frac a b \cos bx\left |_0^{\frac{\pi}{2b}}=\frac a b$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.07.2007, 01:07 


15/07/07
1
Думаю, будет так:
Площадь четверти синусоиды, в зависимости от ее частоты f выражается формулой:
$$S_\frac \pi 2=\int_{0}^{\frac \pi 2}asin \omega tdt=-\frac a \omega cos \omega t\left|\begin{array} \frac^{\frac \pi 2} \\_0\end{array}=-\frac a \omega \left[cos \frac \pi 2 \omega -cos0 \right]=\frac a \omega \left[1-cos \frac \pi 2 \omega \right]=\frac a {2 \pi f}\left[1-cos(\pi^2f)\right].
Если нужна какая-либо часть этой площади, то меняем только верхний предел интеграла, вместо $$\frac \pi 2 подставляем $$\frac \pi {2k}}, где k - коэффициент, обозначающий, на какую часть мы желаем укоротить эту четвертинку синусоиды. Формула на выходе в таком случае будет:
$$S_\frac \pi {2k}=\frac a {2 \pi f}\left[1-cos(\frac {\pi^2f}k)\right].

P.S.: Видимо под b подразумевалась циклическая частота $$\omega.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.07.2007, 02:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
«Интегралы нам што! дробя вот заедает…»

1) Четверть периода равны $\pi/2$ толькко если $b = 1$. В остальных случаях, как и указал photon, это $\frac{\pi}{2 b}$.

2) Под $b$ подразумевается, видимо, $b$. Другое дело, что в физики и инженеры традиционно используют другую букву. Идея поменять обозначения (по сравнению с условием задачи) особенно хорошо запутывает тех, кто пытается понять решение.

3) Если же аккуратно подставить правильный верхний предел, то получится в точности формула photonа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.07.2007, 04:10 
Экс-модератор


17/06/06
5004
На примитивном уровне можно считать так:

Синусоида $y=\sin x$ имеет площадь $1$ под графиком от $0$ до $\pi/2$. Тогда синусоида $y=a\sin bx$, полученная растяжением вдоль оси $y$ в $a$ раз и сжатием вдоль оси $x$ в $b$ раз, будет, конечно, иметь площадь $a/b$. Зависимость легко угадать, проблема лишь в том, чтобы найти какую-нибудь одну синусоиду.
led9 писал(а):
неужели если частота в два раза больше, то два кривых горба в точности сравняются с одним по площади?

$a/b$ - это мы посчитали площадь одного горба (потом исправил: ой-ой-ой, даже половинки!). Да, они сравняются по площади, потому что мы как раз в два раза их и сжали, и их стало в два раза больше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group