Найти кратность корня для полинома

[Rostislav1]

Для полинома $\[f(x) = {x^7} - 3{x^6} + 5{x^5} - 7{x^4} + 7{x^3} - 5{x^2} + 3x - 1;\]$ Найти кратность корня $ \[{x_0} = 1\]$
По схеме Горнера
$\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&1&{ - 3}&5&{ - 7}&7&{ - 5}&3&{ - 1} \\ 1&1&{ - 2}&3&{ - 4}&3&{ - 2}&1&0 \\ 1&1&{ - 1}&2&{ - 2}&1&{ - 1}&0&{} \\ 1&1&0&2&0&1&0&{}&{} \\ 1&1&1&3&3&4&{}&{}&{} \end{array}} \right]\]$
Получается, что кратность корня = 3 ?
Это верно?

[iifat]

Какого рода сомнения вы испытываете? Как можно проверить вашу утверждение?

[Rostislav1]

Сомнения испытываю потому что первый раз делаю такого рода задание:)По этому и обратился на форум, чтобы мне указали на ошибку, если я ее допустил.
А проверить можно, думаю, производя деление, до тех пор, пока оно будет происходить без остатка

[iifat]

Математика, в отличие от магии, позволяет быть уверенным в правильности своих действий даже без подтверждения со стороны старших товарищей.
Ну, например, произведите деление, пока оно будет происходить без остатка. Или, раз уж вы знаете кратность, поделите сразу на $(x-1)^3$, проверьте, поделится ли без остатка, и, если таки да, не забудьте убедиться, что 1 не является корнем частного. Или, например, возьмите производные до третьей включительно и проверьте, что 1 является корнем многочлена и найденных производных, кроме последней.

[Rostislav1]

Спасибо, проверил с помощью производных.А по какому свойству это выполняется?(я про производные)

[Cash]

Запишите $P(x)=(x-a)^nQ(x)$ и честно возьмите производные

[iifat]

Достаточно одну. Закономерность будет видна.

[Rostislav1]

Понял, спасибо