2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 алгебра- разложить многочлен на множители
Сообщение11.07.2007, 19:39 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Нужно разложить многочлен в поле комплексных чисел на множители. У меня получается как-то некрасиво
$x^4+1=(x+\sqrt{i})(x-\sqrt{i})(x+\sqrt{i^3})(x-\sqrt{i^3})$
Подскажите, что дальше? Извлекать корeнь из комплексного числа я не умею.
Надеюсь, когда -нибудь тоже буду в состоянии помочь советом. Огромное спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.07.2007, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
Вы неудачно разложили на множители. Обычно используется такое преобразование:
$$x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-(x\sqrt{2})^2=\ldots$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.07.2007, 01:25 


15/03/07
128
Для начала извлекать можно поучится так:
$\sqrt{c+id}$ = $a+ib$,
$c+id$ = $a^2$ - $b^2$ + $2abi$
Приравниваем $Re$ и $Im$ части и решаем систему

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.07.2007, 22:33 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Ну хорошо, получаю четыре комплексных корня
$exp(\frac{i\pi}{4})$,$exp(\frac{3i\pi}{4})$,$exp(\frac{5i\pi}{4})$,$exp(\frac{7i\pi}{4})$
А какая база будет у лин. пространства, если я добавлю в поле вещественных чисел корни этого полинома?

Меня ставит в тупик- я знаю, что любое компл. число записывается в виде a+bi, т.е. размерность 2, (1,i)-база поля компл. чисел..
Многочлен x^4+1неприводим и deg(x^4+1)=4,
значит, размерность получаемого поля 4?!

Но я знаю, что поле комплексных чисел расширить нельзя!
Подскажите,пожалуйста, какая база у получаемого пространства ?

Или x^4+1 не минимален? В голове- каша.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.07.2007, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Таня Тайс писал(а):
Многочлен x^4+1неприводим и deg(x^4+1)=4,
значит, размерность получаемого поля 4?!

Этот многочлен приводим над R: \[
x^4  + 1 = (x^2  + \sqrt 2 x + 1)(x^2  - \sqrt 2 x + 1)\] . Есть несложно доказываемая теорема: неприводимый над R многочлен не может иметь степень больше, чем 2.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2007, 10:33 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
:) Спасибо!
А если над Q -полем рациональных чисел? Hад Q неприводим.
Т.е. $dim Q(exp(\frac{i\pi}{4}))=4$
$=dim Q(exp(\frac{i\pi}{4}),exp(\frac{3i\pi}{4}))=$
$=dim Q(exp(\frac{i\pi}{4}),exp(\frac{3i\pi}{4}),exp(\frac{5i\pi}{4}))=$...

База получаемого поля будет $1,exp(\frac{i\pi}{4}),exp(\frac{i\pi}{4})^2,exp(\frac{i\pi}{4})^3$
Пока правильно?
Как же тогда с этой базой мне получить $exp(\frac{7i\pi}{4})$?
Чего -то я недопонимаю.. :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2007, 11:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
Таня Тайс писал(а):
База получаемого поля будет $1,exp(\frac{i\pi}{4}),exp(\frac{i\pi}{4})^2,exp(\frac{i\pi}{4})^3$
Пока правильно?
Как же тогда с этой базой мне получить $exp(\frac{7i\pi}{4})$?
Чего -то я недопонимаю.. :(


$$e^{\frac{\pi}4i}=\frac{\sqrt{2}}2+\frac{\sqrt{2}}2i$$
$$e^{\frac{\pi}2i}=i$$
$$e^{\frac{3\pi}4i}=-\frac{\sqrt{2}}2+\frac{\sqrt{2}}2i$$
$$e^{\frac{7\pi}4i}=\frac{\sqrt{2}}2-\frac{\sqrt{2}}2i=-e^{\frac{3\pi}4i}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group