алгебра- разложить многочлен на множители

[Таня Тайс]

Нужно разложить многочлен в поле комплексных чисел на множители. У меня получается как-то некрасиво
$x^4+1=(x+\sqrt{i})(x-\sqrt{i})(x+\sqrt{i^3})(x-\sqrt{i^3})$
Подскажите, что дальше? Извлекать корeнь из комплексного числа я не умею.
Надеюсь, когда -нибудь тоже буду в состоянии помочь советом. Огромное спасибо.

[Someone]

Вы неудачно разложили на множители. Обычно используется такое преобразование:

$$x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-(x\sqrt{2})^2=\ldots$$

[Pyphagor]

Для начала извлекать можно поучится так:
$\sqrt{c+id}$ = $a+ib$,
$c+id$ = $a^2$ - $b^2$ + $2abi$
Приравниваем $Re$ и $Im$ части и решаем систему

[Таня Тайс]

Ну хорошо, получаю четыре комплексных корня
$exp(\frac{i\pi}{4})$,$exp(\frac{3i\pi}{4})$,$exp(\frac{5i\pi}{4})$,$exp(\frac{7i\pi}{4})$
А какая база будет у лин. пространства, если я добавлю в поле вещественных чисел корни этого полинома?

Меня ставит в тупик- я знаю, что любое компл. число записывается в виде a+bi, т.е. размерность 2, (1,i)-база поля компл. чисел..
Многочлен x^4+1неприводим и deg(x^4+1)=4,
значит, размерность получаемого поля 4?!

Но я знаю, что поле комплексных чисел расширить нельзя!
Подскажите,пожалуйста, какая база у получаемого пространства ?

Или x^4+1 не минимален? В голове- каша.

[Brukvalub]

Таня Тайс писал(а):

Многочлен x^4+1неприводим и deg(x^4+1)=4,
значит, размерность получаемого поля 4?!

Этот многочлен приводим над R:

\[ x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt 2 x + 1)(x^2 - \sqrt 2 x + 1)\]

. Есть несложно доказываемая теорема: неприводимый над R многочлен не может иметь степень больше, чем 2.

[Таня Тайс]

Спасибо!
А если над Q -полем рациональных чисел? Hад Q неприводим.
Т.е. $dim Q(exp(\frac{i\pi}{4}))=4$
$=dim Q(exp(\frac{i\pi}{4}),exp(\frac{3i\pi}{4}))=$
$=dim Q(exp(\frac{i\pi}{4}),exp(\frac{3i\pi}{4}),exp(\frac{5i\pi}{4}))=$...

База получаемого поля будет $1,exp(\frac{i\pi}{4}),exp(\frac{i\pi}{4})^2,exp(\frac{i\pi}{4})^3$
Пока правильно?
Как же тогда с этой базой мне получить $exp(\frac{7i\pi}{4})$?
Чего -то я недопонимаю..

[Someone]

Таня Тайс писал(а):

База получаемого поля будет $1,exp(\frac{i\pi}{4}),exp(\frac{i\pi}{4})^2,exp(\frac{i\pi}{4})^3$
Пока правильно?
Как же тогда с этой базой мне получить $exp(\frac{7i\pi}{4})$?
Чего -то я недопонимаю.. :(

$$e^{\frac{\pi}4i}=\frac{\sqrt{2}}2+\frac{\sqrt{2}}2i$$

$$e^{\frac{\pi}2i}=i$$

$$e^{\frac{3\pi}4i}=-\frac{\sqrt{2}}2+\frac{\sqrt{2}}2i$$

$$e^{\frac{7\pi}4i}=\frac{\sqrt{2}}2-\frac{\sqrt{2}}2i=-e^{\frac{3\pi}4i}$$