Система уравнений

[maxal]

Лемма Фаркаша. Существование неотрицательного решения $x\geq 0$ системы $Ax=b$ равносильно тому, что $yb\geq 0$ для любой вектор-строки $y$, удовлетворяющей $yA\geq 0$.

То есть, задача сводится к минимизации $yb$ при условии $yA\geq 0$ (или $A^T y^T\geq 0$, если хотите). Если минимум окажется $<0$, то у исходной системы нет неотрицательных решений; а если $\geq 0$ - то есть.

[alenov]

Maxal, а что же такое y в моей задаче? $y = Ax -b$?

[alenov]

Уважаемые математики!
Мне по-прежнему не понятно, как получить линейную функцию для решения этой задачи. Maxal предлагает умножить матрицу Ax - B на вектор столбец B? Тогда линейная функция будет $ L = (Ax - B) B \to \min $ ?

[provincialka]

alenov в сообщении #724896 писал(а):

Maxal, а что же такое y в моей задаче? $y = Ax -b$?

Лучше пусть ответит Maxalб но мне кажется, что $y$ - просто переменный вектор (строка чисел $y_1,y_2, ..., y_n$)
То есть вы каждое уравнение умножаете на свой $y$, а потом все складываете.
На левую часть накладываете условие, что она $\ge0$ и смотрите, что будет с правой. При этом достаточно найти минимум этой правой части по игрекам (условный экстремум). Если он неотрицательный - нужное решение существует.

Но по мне так проще найти это решение и уже на него наложить условия-неравенства. Если вам все равно нужно находить эти числа $x$.

[maxal]

alenov в сообщении #725083 писал(а):

Maxal предлагает умножить матрицу Ax - B на вектор столбец B? Тогда линейная функция будет $ L = (Ax - B) B \to \min $ ?

Я такого не предлагал. Погуглите "лемма Фаркаша".

[Glk63]

Попробуйте погуглить по словосочетанию Non-negative least squares или NNLS. Поскольку при ограничениях на положительность решения точное решение не всегда возможно. Если интересует, могу дать код на С++.