Производная от матричного выражения

[vivcha]

Нужно найти производную $ {f}^\prime_{\alpha}$ от матричного выражения:

$$f(\alpha)=[\det(B+\alpha C)]^{-1/2}\exp\left\{-\frac{1}{2}x^T(B+\alpha C)^{-1}x\right\},$$

где $\alpha$ - скаляр, $B$ и $C$ - матрицы порядка $n$, с элементами не зависящими от $\alpha$, $x$ - вектор.

Формально следуя правилу дифференцирования произведения, застопорился на первом множителе. Т.к $\det(A) =\operatorname{Tr}(A\bar{A})/n$, то можно искать производные уже от матриц. Но как дифференцировать тогда присоединенную матрицу $\bar{A}$? Производная от экспоненциального множителя равна

$$\frac{1}{2}x^T(B+\alpha C)^{-1}C(B+\alpha C)^{-1}x\exp(\cdots)\,? $$

[bot]

vivcha в сообщении #724952 писал(а):

Т.к $\det(A) =\operatorname{Tr}(A\bar{A})/n$, то можно искать производные уже от матриц.

Прикольно, но нужно ли?
$(\det A)'=(\det (a_1, \ldots, a_i, \ldots, a_n))'=\sum\limits_{i=1}^n\det (a_1, \ldots, a_i', \ldots, a_n)$, где $a_i$ - столбцы (или, если угодно, строки) матрицы $A$.

[espe]

vivcha в сообщении #724952 писал(а):

Производная от экспоненциального множителя равна

$$\frac{1}{2}x^T(B+\alpha C)^{-1}C(B+\alpha C)^{-1}x\exp(\cdots)\,? $$

Да.

Производная от определителя вычисляется по формуле

$$\frac{\partial}{\partial\alpha}\det M=\det M \;\operatorname{tr}\left(M^{-1}\frac{\partial M}{\partial\alpha}\right)$$