2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Производная от матричного выражения
Сообщение17.05.2013, 08:14 
Нужно найти производную $ {f}^\prime_{\alpha}$ от матричного выражения:
$$f(\alpha)=[\det(B+\alpha C)]^{-1/2}\exp\left\{-\frac{1}{2}x^T(B+\alpha C)^{-1}x\right\},$$ где $\alpha$ - скаляр, $B$ и $C$ - матрицы порядка $n$, с элементами не зависящими от $\alpha$, $x$ - вектор.

Формально следуя правилу дифференцирования произведения, застопорился на первом множителе. Т.к $\det(A) =\operatorname{Tr}(A\bar{A})/n$, то можно искать производные уже от матриц. Но как дифференцировать тогда присоединенную матрицу $\bar{A}$? Производная от экспоненциального множителя равна $$\frac{1}{2}x^T(B+\alpha C)^{-1}C(B+\alpha C)^{-1}x\exp(\cdots)\,? $$

 
 
 
 Re: Производная от матричного выражения
Сообщение17.05.2013, 10:30 
Аватара пользователя
vivcha в сообщении #724952 писал(а):
Т.к $\det(A) =\operatorname{Tr}(A\bar{A})/n$, то можно искать производные уже от матриц.

Прикольно, но нужно ли?
$(\det A)'=(\det (a_1, \ldots, a_i, \ldots, a_n))'=\sum\limits_{i=1}^n\det (a_1, \ldots, a_i', \ldots, a_n)$, где $a_i$ - столбцы (или, если угодно, строки) матрицы $A$.

 
 
 
 Re: Производная от матричного выражения
Сообщение17.05.2013, 15:30 
vivcha в сообщении #724952 писал(а):
Производная от экспоненциального множителя равна $$\frac{1}{2}x^T(B+\alpha C)^{-1}C(B+\alpha C)^{-1}x\exp(\cdots)\,? $$

Да.

Производная от определителя вычисляется по формуле $$\frac{\partial}{\partial\alpha}\det M=\det M \;\operatorname{tr}\left(M^{-1}\frac{\partial M}{\partial\alpha}\right)$$

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group