Л&Л т.2 писал(а):
...сделанный нами выбор - единственный, при котором псевдотензор энергии-импульса поля содержит лишь первые (но не более высокие) производные от

(условие, представляющееся вполне естественным с физической точки зрения) и при этом симметричен, так что дает возможность сформулировать закон сохранения момента.
Каюсь, я всегда просто принимал сказанное к сведению. А вот сейчас решил немножечко потянуть за краешек и получилось довольно забавно...
Рассмотрим следующую модификацию ПТЭИ Л&Л
![$$8\pi t^{\mu \nu } \equiv \frac{1}{{2h}}\left[ {f\left( {g^{\mu \nu } g^{\alpha \beta } - g^{\mu \alpha } g^{\nu \beta } } \right)} \right]_{,\alpha \beta } - \left( {R^{\mu \nu } - \frac{1}{2}Rg^{\mu \nu } } \right) \eqno (1)$$ $$8\pi t^{\mu \nu } \equiv \frac{1}{{2h}}\left[ {f\left( {g^{\mu \nu } g^{\alpha \beta } - g^{\mu \alpha } g^{\nu \beta } } \right)} \right]_{,\alpha \beta } - \left( {R^{\mu \nu } - \frac{1}{2}Rg^{\mu \nu } } \right) \eqno (1)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/e/08e6da5e95efd505131b4e8328bb1aaa82.png)
где

- некоторые произвольные функции координат. Попытаемся подобрать их так, чтобы в

не входили вторые производные от метрики.
Дальнейшие вычисления удобно проводить сохраняя в уравнениях только члены, содержащие вторые производные. Значком

обозначим равенство членов со вторыми производными. Имеет место следующее весьма полезное свойство

А цель нашего исследования теперь можно сформулировать совсем коротко - найти такие

и

, чтобы

.
Активно пользуясь свойством (2) последовательно получаем

где введены обозначения

Отметим также формулу

, которая нам понадобится ниже.
Продолжаем

и наконец

где

В принципе, с этим уже можно работать, но я хочу ещё сильнее упростить себе жизнь. Пусть

. Тогда

и

, что даёт

В общем случае символы

могут иметь совершенно произвольные значения и для достижения цели ничего не остаётся кроме зануления круглых скобок, откуда мгновенно получается один-единственный ПТЭИ Л&Л.
Ситуация изменяется, если координаты выбраны так, что символы

принимают во всей области некие наперёд заданные значения. Для более простого случая

возможны только два типа интересных координатных условий:
Если какой-либо один из символов
равен нулю, а второй не равен, то
даёт бесконечную серию интегралов содержащим одну произвольную функцию переменной 
Если один символы
пропорциональны с коэфициентом пропорциональности, зависящем от
, то число произвольных функций увеличивается до двух.
Вот, к примеру, ежели потребовать всего лишь

то мы легко обеспечим себе бесконечную серию сохраняющихся величин (причём, в одних и тех же координатах).