Псевдотензор и привилегированные системы координат

[Утундрий]

Л&Л т.2 писал(а):

...сделанный нами выбор - единственный, при котором псевдотензор энергии-импульса поля содержит лишь первые (но не более высокие) производные от $g_{ik}$ (условие, представляющееся вполне естественным с физической точки зрения) и при этом симметричен, так что дает возможность сформулировать закон сохранения момента.

Каюсь, я всегда просто принимал сказанное к сведению. А вот сейчас решил немножечко потянуть за краешек и получилось довольно забавно...

Рассмотрим следующую модификацию ПТЭИ Л&Л

$$8\pi t^{\mu \nu } \equiv \frac{1}{{2h}}\left[ {f\left( {g^{\mu \nu } g^{\alpha \beta } - g^{\mu \alpha } g^{\nu \beta } } \right)} \right]_{,\alpha \beta } - \left( {R^{\mu \nu } - \frac{1}{2}Rg^{\mu \nu } } \right) \eqno (1)$$

где $h, f$ - некоторые произвольные функции координат. Попытаемся подобрать их так, чтобы в $(1)$ не входили вторые производные от метрики.

Дальнейшие вычисления удобно проводить сохраняя в уравнениях только члены, содержащие вторые производные. Значком $ \cong $ обозначим равенство членов со вторыми производными. Имеет место следующее весьма полезное свойство

$$\left( {uv} \right)^{\prime \prime } \cong u''v + uv'' \eqno (2)$$

А цель нашего исследования теперь можно сформулировать совсем коротко - найти такие $h$ и $f$, чтобы $t^{\mu \nu } \cong 0$.

Активно пользуясь свойством (2) последовательно получаем

$$\begin{gathered} R_{\mu \nu } \cong \Gamma _{\mu \nu ,\alpha }^\alpha - \Gamma _{\mu \alpha ,\nu }^\alpha \cong D_{\mu \nu } - \frac{1}{2}\square g_{\mu \nu } - \frac{{g_{,\mu \nu } }}{{2g}} \hfill \\ R \cong D - C \hfill \\ \end{gathered} $$

где введены обозначения

$$\begin{gathered} \square \equiv g^{\mu \nu } \partial _{\mu \nu } \hfill \\ g \equiv \left| {\det \left\| {g_{\mu \nu } } \right\|} \right| \hfill \\ D_{\mu \nu } \equiv \frac{1}{2}g^{\alpha \beta } \left( {g_{\alpha \mu ,\beta \nu } + g_{\alpha \nu ,\beta \mu } } \right) \hfill \\ D \equiv g^{\mu \nu } D_{\mu \nu } \hfill \\ C \equiv g^{\mu \nu } \square g_{\mu \nu } \hfill \\ \end{gathered} \eqno (3)$$

Отметим также формулу $\square g \cong gC$, которая нам понадобится ниже.

Продолжаем

$$\begin{gathered} g_{\mu \sigma } g_{\nu \tau } \left( {fg^{\sigma \tau } g^{\alpha \beta } } \right)_{,\alpha \beta } \cong g_{\mu \nu } \square f - f\left( {\square g_{\mu \nu } + D} \right) \hfill \\ g_{\mu \sigma } g_{\nu \tau } \left( {fg^{\sigma \alpha } g^{\tau \beta } } \right)_{,\alpha \beta } \cong f_{,\mu \nu } - 2fD_{\mu \nu } \hfill \\ \end{gathered} $$

и наконец

$$8\pi t_{\mu \nu } \cong \left( {\frac{f}{h} - 1} \right)A_{\mu \nu } + \frac{1}{2}\left( {\frac{{g_{\mu \nu } \square f - f_{,\mu \nu } }}{h} - B_{\mu \nu } } \right) \eqno (4)$$

где

$$\begin{gathered} A_{\mu \nu } \equiv D_{\mu \nu } - \frac{1}{2}\square g_{\mu \nu } - \frac{1}{2}Dg_{\mu \nu } \hfill \\ B_{\mu \nu } \equiv Cg_{\mu \nu } - \frac{{g_{,\mu \nu } }}{g} \hfill \\ \end{gathered} \eqno (5)$$

В принципе, с этим уже можно работать, но я хочу ещё сильнее упростить себе жизнь. Пусть $f = f\left( g \right)$. Тогда $f_{,\mu \nu } \cong g_{,\mu \nu } f'$ и $\square f \cong gCf'$, что даёт

$$8\pi t_{\mu \nu } \cong \left( {\frac{f}{h} - 1} \right)A_{\mu \nu } + \frac{1}{2}\left( {\frac{{gf'}}{h} - 1} \right)B_{\mu \nu } \eqno (6)$$

В общем случае символы $(5)$ могут иметь совершенно произвольные значения и для достижения цели ничего не остаётся кроме зануления круглых скобок, откуда мгновенно получается один-единственный ПТЭИ Л&Л.

Ситуация изменяется, если координаты выбраны так, что символы $(5)$ принимают во всей области некие наперёд заданные значения. Для более простого случая $(6)$ возможны только два типа интересных координатных условий:

Если какой-либо один из символов $(5)$ равен нулю, а второй не равен, то $(6)$ даёт бесконечную серию интегралов содержащим одну произвольную функцию переменной $g$

Если один символы $(5)$ пропорциональны с коэфициентом пропорциональности, зависящем от $g$, то число произвольных функций увеличивается до двух.

Вот, к примеру, ежели потребовать всего лишь

$$\begin{gathered} g^{\mu \nu } \square g_{\mu \nu } = 0 \hfill \\ g = const \hfill \\ \end{gathered} $$

то мы легко обеспечим себе бесконечную серию сохраняющихся величин (причём, в одних и тех же координатах).

[SergeyGubanov]

Не очень понятно не случается ли обмен шила на мыло когда для устранения вторых производных используются координатные условия, которые сами составлены из вторых производных.

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #717917 писал(а):

не случается ли обмен шила на мыло когда для устранения вторых производных используются координатные условия, которые сами составлены из вторых производных.

Их, может статься, и не получится выдержать. Зависит от метрики. Но если вдруг получится и возникнет бесконечная серия сохраняющихся величин, то среди них любопытно было бы поискать, например, не меняющиеся при "трехмерных преобразованиях".

[Утундрий]

В самом конце поспешил и ошибся,
Но никто не поправил меня...
Печаль.

[Утундрий]

Собственно, я о том, что тем ненумерованным лихим кавалеристским наскоком закон сохранения отнюдь не размножается. Ибо $f\left( 1 \right) = const$ и снова здравствуй ПТЭИ ЛЛ. Впрочем, всего что выше сие не отменяет, просто нужно работать несколько тщательнЕй.

[dvb]

Я всегда снимаю шляпу перед человеком, который не только знает, что такое тензорные обозначения, но и умеет что-то из них соорудить...
Только такому человеку я могу доверить идиотский вопрос, который меня мучит:

Искривление пространства - суть гравитационное поле. Гравитационное поле имеет энергию. Плотность энергии ОТО связывает с искривлением пространства. Нельзя ли в этом случае как-то изловчиться, соорудив подходящий лагранжиан, с тем, чтобы плотность энергии гравитационного поля сама себе обеспечивала такую кривизну, чтобы во всем остальном уже не было необходимости? Или никак?

PS. Ну.., в конце концов, ведь только левая часть УЭ из хорошего мрамора, а правая - из плохого дерева. Подрубить там сучки, обстрогать... Тут могут открыться перспективы в отношении космологической сингулярности. Там кривизна была - будь здоров, и энергии вполне могло хватить на все нынешнее безобразие многообразие.

[epros]

dvb в сообщении #724465 писал(а):

... чтобы во всем остальном уже не было необходимости?

Вопрос в том, что такое "всё остальное". Если это ТЭИ тяготеющей материи, то не получится по определению. Ибо если определение говорит, что оный ТЭИ равен нулю, то очень странно искать такое решение, при котором он нулю не равен.

[Munin]

dvb в сообщении #724465 писал(а):

Нельзя ли в этом случае как-то изловчиться, соорудив подходящий лагранжиан, с тем, чтобы плотность энергии гравитационного поля сама себе обеспечивала такую кривизну, чтобы во всем остальном уже не было необходимости?

А чем лагранжиан ОТО не подходит?

[Утундрий]

dvb
Струнщики, к примеру, вполне изловчаются. У них ведь нет ничего кроме вакуума, но он столь хитро закручен, что в макроскопическом пределе даёт... эээ... а вот даёт он у них буквально всё что угодно и это как раз минус. Ну и сама идея удерживать УЭ никак не модифицированными аж вплоть до планковских масштабов выглядит натянуто.

[dvb]

epros в сообщении #724470 писал(а):

Если это ТЭИ тяготеющей материи

Если так, то пусть мне объяснят, что такое материя в физике... Насколько я помню, у Эйнштейна слева стоит что-то связанное с кривизной, а справа-тензор энергии импульса. Надо полагать, в него следует столкать всю энергию, какая имеется в единице объема. Мне тут попадались места, где люди сидят и интегрируют плотность "гравитационной" энергии по объему. Стало быть, эта плотность имеет место и должна входить в тензор - больше ведь ее сунуть некуда в этом уравнении, разве что в лямбда-член. Уравнение Эйнштейна локальное, оно связывает кривизну "вот тут" с плотностью энергии и давлением "тут же". Если кто-то появился, искривил пространство, тут же появилась локальная плотность энергии, он потом улетел, а плотность с кривизной остались поддерживая друг-друга на солидном уровне. Мне скажут: "но-но, дядя, не шали!" А я скажу: вон у вас гравитоны летают без всякой материи, и хоть бы им хны! А они не просто так летают - энергию перетаскивают! Ну, как соберутся в кучку и столкнутся где-нибудь в хорошем месте - что тогда?"
Это, конечно, шутка, но во всякой шутке есть элемент трагедии личности. В данном случае, моей.

[Утундрий]

dvb
Давайте не будем обсуждать здесь проблемы энергии в ОТО. Тема посвящена более частному вопросу, и я не ищу здесь "наиболее правильных" выражений для энергии.

[Munin]

dvb в сообщении #724741 писал(а):

Если так, то пусть мне объяснят, что такое материя в физике...

В ОТО под этим словом понимается что угодно, кроме гравитации. Ну, у неё ещё лагранжиан есть.

[MOPO3OB]

Вдруг не в курсе кто.

Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна
Л.Д. Фаддеев

Обзорная статья посвящена обсуждению определения и свойств энергии в теории тяготения Эйнштейна. Асимптотически плоское пространство-время определяется в терминах допустимых асимптотически декартовых координат и соответствующей группы координатных преобразований. На таком пространстве-времени вводится функция Лагранжа и строится обобщенная гамильтонова формулировка теории тяготения по Дираку. Энергия определяется как генератор сдвига по асимптотическому времени. Показано, что полная энергия поля тяготения и полей материи с нормальным тензором энергии-импульса положительна и исчезает только при отсутствии полей материи и гравитационных волн. Доказательство следует Виттену, но содержит ряд поправок и усовершенствований. Обсуждается ряд стандартных критических замечаний по поводу понятия энергии и показана их несостоятельность. Илл. 37 (39 назв.)
http://ufn.ru/ufn82/ufn82_3/Russian/r823c.pdf

[schekn]

MOPO3OB в сообщении #752620 писал(а):

Вдруг не в курсе кто.

Вдруг кто не в курсе.

Жесткая критика статьи Фаддеева математиком Денисовым.
"Энергия, определяемая в ОТО на основе традиционного гамильтонова подхода, не имеет физического смысла".
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

"О замечании Л. Д. Фаддеева"
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus