Минимальное N

[scwec]

Дано уравнение

$$\left|\frac{x^2y^2-u^2v^2}{y^2u^2-x^2v^2}\right|=N$$

При каком минимальном натуральном $N>1$ это уравнение имеет решение в натуральных $x,y,u,v$ ?

[ИСН]

В разных, что ли? А то (2,2,2,1) к Вашим услугам.

[scwec]

В условии $N>1$.

[ИСН]

Ах да. Так-так.
Ну, вижу $(2,3,1,1)\mapsto7$. Странное какое-то число. Думаю, нельзя ли меньше.

[scwec]

Решение можно было бы построить так.
Обозначим
$a=2xyuv, d=|x^2y^2-u^2v^2|, e=x^2y^2+u^2v^2$,
$b=|y^2u^2-x^2v^2|, c=y^2u^2+x^2v^2$.
Исходное уравнение запишется так: $\frac{d}{b}=N\qquad(1)$.
Тогда $a^2+b^2=c^2, a^2+(Nb)^2=e^2\qquad(2)$.
Если $(1)$ имеет натуральное решение, то имеет натуральное решение и $(2)$. (Обратное не обязательно верно).
Решение $(1)$ для $N=7$ увидел ИСН.
Меньше семи $N$ быть не может, поскольку система уравнений Лича $(2)$ для $N=2,3,4,5,6$ натуральных решений не имеет.
Проще всего в этом убедиться, посчитав ранги эллиптических кривых $Y^2=X^3+(N^2+1)X^2+N^2X$ при $N=2,3,4,5,6$ с помощью PARI/GP.
Они все нулевые. И, следовательно, рациональных точек бесконечного порядка нет. А рациональные точки кручения $(0,0),(-1,0),(-N^2,0),(N,\pm{N(N+1)}),(-N,\pm{N(N-1)})$ не дают натуральных решений $(2)$ (обязательно появляются нулевые значения переменных или $b$ или $a$).
Так что семь - минимальное значение для $N$.
Кстати, значение $N=7$ соответствует системе $12^2+5^2=13^2, 12^2+35^2=37^2$.
Второй путь - находить элементарные доказательства отсутствия натуральных решений $(2)$ для $N=2,3,4,5,6$. Например, nnosipov получал в одной из тем доказательство для $N=3$.

Вопрос. Может кто-нибудь увидит решение уравнения $(1)$ для $N=10$? (Система Лича при $N=10$ решение имеет).