интеграл

[malen'kui matematik]

добрый день. Затрудняюсь вычислить интеграл:
$\int_{-\infty}^{+\infty} x[\exp^{-[(lnx-\mu)^2]/2\sigma^2}]/(x\sigma \sqrt{(2\pi}))dx $ (это плотность логнормального распределения умноженная на X) подскажите,как его подсчитать

Предупреждение за неинформативный заголовок, создание двух веток на одну тему, отсутствие демонстраций содержательных попыток решения и указаний конкретных затруднений в начальном сообщении. См. правила этого раздела.
/ GAA, вечер 17.05.13

[ИСН]

$\ln x$ - это тупо $t$.

[Ms-dos4]

А как вы собрались интегрировать его от $ - \infty $, если логнормальное распределение определено на $[0; + \infty )$.
Ну а про сам интеграл - иксы сокращаются, остаётся лишь экспонента. Замена в показателе и далее он выразится через функцию ошибок.

[malen'kui matematik]

да виноват,там от 0

-- 16.05.2013, 20:47 --

а можно объяснить что такое функция ошибок?

[Ms-dos4]

malen'kui matematik
Поступайте теперь как сказал ИСН
Должны получить ${e^{\mu + \frac{{{\sigma ^2}}}{2}}}$

-- Чт май 16, 2013 19:51:43 --

malen'kui matematik в сообщении #724717 писал(а):

а можно объяснить что такое функция ошибок?

Это спец. функция, которая определяется как ${\mathop{\rm erf}\nolimits} (\xi ) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^\xi {{e^{ - {t^2}}}dt} $, ну и дополнительная функция ошибок ${\mathop{\rm Erf}\nolimits} (\xi ) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_\xi ^\infty {{e^{ - {t^2}}}dt} $

[malen'kui matematik]

а после замены разве в нижнем пределе опять не появится бесконечность?

[Ms-dos4]

malen'kui matematik в сообщении #724723 писал(а):

а после замены разве в нижнем пределе опять не появится бесконечность?

После замены уже можно.

[malen'kui matematik]

после замены у меня получилось:

$$1/(\sigma \sqrt{2\pi})\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-((t-\mu)^2+2\sigma^2t)/2\sigma^2} dt$$

и как это выразить через функцию ошибок?

[Ms-dos4]

Я даже погорячился, в принципе она тут нафиг не нужна.
Делаем замену
$\[\ln x = t \Rightarrow dx = {e^t}dt\]$
$\[\frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\int\limits_0^\infty {{e^{ - \frac{{{{(\ln x - \mu )}^2}}}{{2\sigma }}}}dx} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - \frac{{{{(t - \mu )}^2}}}{{2\sigma }} + t}}dt} \]$
Немного манипуляций с показателем экспоненты
$\[\begin{array}{l} t - \frac{{{{(t - \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}} = - \frac{{{{(t - \mu )}^2} - 2{\sigma ^2}t}}{{2{\sigma ^2}}} = - \frac{{{t^2} - 2t(\mu + {\sigma ^2})t + {\mu ^2}}}{{2{\sigma ^2}}} = \\ = - \frac{{{t^2} - 2t(\mu + {\sigma ^2})t + {\mu ^2} + 2\mu {\sigma ^2} + {\sigma ^4} - 2\mu {\sigma ^2} - {\sigma ^4}}}{{2{\sigma ^2}}} = - \frac{{{{(t - (\mu + {\sigma ^2}))}^2} - 2\mu {\sigma ^2} - {\sigma ^4}}}{{2{\sigma ^2}}} \end{array}\]$
$\[\frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - \frac{{{{(t - \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}} + t}}dt} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{\mu + \frac{{{\sigma ^2}}}{2}}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - \frac{{{{(t - (\mu + {\sigma ^2}))}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}dt} \]$
Получившийся интеграл представляет собой интеграл Пуассона (только под дифференциал подвести).

P.S.Поправил сообщение - до этого немного ошибся (вместо $\[{\sigma ^2}\]$ записал $\[\sigma \]$

[malen'kui matematik]

спасибо огромное,тока вот после привода к общему знаменателю не ясно что происходит дальше?

[Ms-dos4]

malen'kui matematik в сообщении #724740 писал(а):

спасибо огромное,тока вот после привода к общему знаменателю не ясно что происходит дальше?

Что именно не ясно?
P.S.Посмотрите ещё раз, я немного поправил сообщение, там была опечатка.

[malen'kui matematik]

после привода к общему знаменателю вылазят сигмы в 4 степени,откуда?

[Ms-dos4]

Они не вылазят. Я добавил их и вычел, что бы выделить полный квадрат

[malen'kui matematik]

спасибо. Вот такой ещё вопрос: мне надо подсчитать с этим же распределением 2 и 3 момент, я понимаю что мне надо посчитать такие же интегралы только плотность умножить на $x^2 x^3$ соответственно. А есть какие то хитрые методы чтобы вот это снова не писать?)

[Ms-dos4]

malen'kui matematik в сообщении #724754 писал(а):

спасибо. Вот такой ещё вопрос: мне надо подсчитать с этим же распределением 2 и 3 момент, я понимаю что мне надо посчитать такие же интегралы только плотность умножить на $x^2 x^3$ соответственно. А есть какие то хитрые методы чтобы вот это снова не писать?)

1)Ответ то $\[{e^{\mu + \frac{{{\sigma ^2}}}{2}}}\]$ получился?
2)Ну со 2-ым моментом думаю будет даже проще (там сразу будет $\[{t^2}\]$ в экспоненте)
P.S.А вот что бы не писать, в таких случаях вычисляют характеристическую функцию и потом считают столько моментов, сколько нужно.