интеграл

[malen'kui matematik]

1) интеграл Пуассона от 0 до $\infty$ а тут бесконечности?
2)разве проще? там разве не по частям надо будет,ведь там $te^{...}$ ?

[Ms-dos4]

Цитата:

1) интеграл Пуассона от 0 до $\[\infty \]$ а тут бесконечности?

Вам два по мат. анализу.
Известно, что $\[\int\limits_0^\infty {{e^{ - {x^2}}}} dx = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\]$, но т.к. функция чётная, то $\[\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {x^2}}}} dx = \sqrt \pi \]$
Используя это
$\[\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {{(\frac{{t - (\mu + {\sigma ^2})}}{{\sqrt 2 \sigma }})}^2}}}dt} = \sqrt 2 \sigma \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {{(\frac{{t - (\mu + {\sigma ^2})}}{{\sqrt 2 \sigma }})}^2}}}d(\frac{{t - (\mu + {\sigma ^2})}}{{\sqrt 2 \sigma }})} = \sqrt 2 \sigma \cdot \sqrt \pi \]$
Тогда
$\[\frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\int\limits_0^\infty {{e^{ - \frac{{{{(\ln x - \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}dx} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\sqrt 2 \sigma \cdot \sqrt \pi {e^{\mu + \frac{{{\sigma ^2}}}{2}}} = {e^{\mu + \frac{{{\sigma ^2}}}{2}}}\]$
Окончательно
$\[\frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\int\limits_0^\infty {{e^{ - \frac{{{{(\ln x - \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}dx} = {e^{\mu + \frac{{{\sigma ^2}}}{2}}}\]$
2)Там не проще(с квадратом в показателе я поспешил), но и не особо сложнее, т.к. после замены $\[x \to {e^t}\]$

[malen'kui matematik]

даже не подумал про чётность( надеюсь,мой преподователь никогда этого не узнает))
Ещё вопросик: у меня 3 параметра не известных и мне надо составить 3 момента,т.е составить систему. 2 уравнения я составил а вот с 3 проблемка. В левой части у меня будет результат интеграла $x^3 $ на плотность а вот в правой части что будет стоять? Извините за кучу вопросов))

[ИСН]

А что у Вас стоит в правой части первых двух уравнений?

[malen'kui matematik]

в первом уравнении выборочное средние($\bar{x}$),а во втором несмещённая оценка дисперсии($s^2$)

[Ms-dos4]

malen'kui matematik
Вы не могли бы полностью сформулировать задачу, которую решаете?

[malen'kui matematik]

да без проблем.
$A=\log[\mu;\sigma]; \mu-?;\sigma-?$
выборка $A_1.....A_n$
$\check{A_i}=A_i +\xi_i$; $\xi_i$-ошибка измерений
$\xi_i=N[0;\sigma1]$
мне по методу моментов надо оценить 3 неизвестных параметра($\mu,\sigma,\sigma_1$)
я составляю систему моментов,ну вот 2 уравнения составил а с 3 затрудняюсь

$$ \begin{cases} \bar{x}=e^{\mu+\sigma^2/2\\ s^2=e^{2\mu+2\sigma^2}+\sigma_1 +2cov(A_i)}\\ \end{cases} $$

[Ms-dos4]

А вы уверены, что вам нужно оценить 3 параметра? Я так понял, что среднеквадратичное отклонение погрешности $\[{\sigma _1}\]$ как раз задали.
И второе уравнение у вас неверно. С чего бы вы приравнивали дисперсию к начальному моменту?

[malen'kui matematik]

чтобы было понятнее я рассматривал ситуацию когда известна дисперсия ошибки,а в данном случае неизвестно. Ну я вроде в учебнике видел,что второй параметр подобно оценивается,разве не верно?

[Ms-dos4]

Ну оценивается то он подобно, но вы написали второй начальный момент, а по определению $\[D[X] = M[{X^2}] - {M^2}[X]\]$, т.е. второй начальный момент минус квадрат первого начального.

(Оффтоп)

P.S.Я сам в мат. стат. не очень то понимаю, в своё время попался мне на экзамене по теорверу мат.стат. и пошёл я на пересдачу... И как не знал я статистики, так и не знаю

[malen'kui matematik]

ну вы явно понимаете больше чем я) Только я не совсем понимаю,вы хотите сказать что не хватает ещё чего-то во 2 уравнении левой части?

-- 16.05.2013, 22:42 --

т.е $s^2-\bar{x}$ так?

[Ms-dos4]

$\[D[X] = M[{X^2}] - {M^2}[X] = {e^{2\mu + 2{\sigma ^2}}} - {({e^{\mu + \frac{{{\sigma ^2}}}{2}}})^2} = {e^{2\mu + {\sigma ^2}}} \cdot ({e^{{\sigma ^2}}} - 1)\]$

[malen'kui matematik]

но к этому надо же прибавить дисперсию ошибки(т.е $\sigma1$) и так как с.в зависимы ещё и посчитать совместную ковариацию,я прав?

[Ms-dos4]

malen'kui matematik
Кажется да (только дисперсия ошибки это $\[\sigma _1^2\]$ )
Впрочем за правильность системы я ручаться не буду

[malen'kui matematik]

всё равно спасибо) но всё таки,а что с 3-м уравнением?