2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 17:38 


29/03/13
76
Имеется такая штука: $\frac{dy}{1+y^2}\geq -dx,$ для всех $x\in (a;b).$
Имею ли право интегрировать данное неравенство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 17:43 
Заслуженный участник


21/05/11
897
Где неравенство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 17:52 


29/03/13
76
Praded поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
А что такое $y$ - функция от $x$?
Вообще-то у интеграла есть такое свойство: чем больше функция, тем больше интеграл. Определенный. Но у вас не функции - а дифференциалы, их знак зависит и от $dx, dy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 18:22 


29/03/13
76
provincialka да, функция от $x.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Видимо, надо считать, что $dx>0$. Тогда можно интегрировать по отрезку $[a;b], a\le b$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 21:14 


29/03/13
76
После интегрирования получается, что $arctg(b)-arctg(a)\geq -(b-a).$
Но левую часть неравенства не получается приблизить к $-\pi ...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 21:18 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
zychnyy в сообщении #723016 писал(а):
После интегрирования получается, что $arctg(b)-arctg(a)\geq -(b-a).$
Но левую часть неравенства не получается приблизить к $-\pi ...$

Нет. После интегрирования получается, что $\arctg y(b)-\arctg y(a)\geq -(b-a).$.
Не очень понятно, откуда могло взяться Ваше исходное неравенство и чего Вы вообще хотите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 21:28 


29/03/13
76
Otta понял свою ошибку. Всем спасибо! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 17:12 


03/03/12
1380
provincialka в сообщении #722964 писал(а):
Тогда можно интегрировать по отрезку $[a;b], a\le b$


А, если отрезок бесконечной длины (левая и правая части неравенства положительны), можно неравенство интегрировать? Если да, то откуда это следует строго математически, ведь на практике этого не проверить? (если отрезок конкретной конечной длины, то понятно; для бесконечной- понятно на бытовом уровне).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 17:25 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
TR63 в сообщении #724656 писал(а):
Если да, то откуда это следует строго математически

Граждане, учите матчасть.
Интегрирование по промежутку сохраняет нестрогое неравенство между функциями, имеющееся на этом промежутке.
В случае, когда интеграл несобственный (в т.ч. и по промежутку бесконечной длины), естественно, требуется существование (сходимость) этих интегралов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 17:42 


03/03/12
1380
Otta,
спасибо за ответ. (Матчасть, действительно, подзабыла; я не математик; этот вопрос мне интересен для решения другого вопроса).
Сохраняется ли знак неравенства при интегрировании на бесконечном промежутке, если неравенство строгое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 18:10 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
TR63 в сообщении #724672 писал(а):
Сохраняется ли знак неравенства при интегрировании на бесконечном промежутке, если неравенство строгое?

Сохраняется, но вообще говоря, строгости гарантировать нельзя.
Только будет в ту же сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 18:27 


03/03/12
1380
Да. Я уже и сама вспомнила- первый замечательный предел. (Я хотела заметить, что сохранение качества (однозначность) во внутренней области (любой конечной) не гарантирует его сохранение на границе области (бесконечности)). Мне ещё непонятно его сохранение для любой конечной области.
Можно дать гарантию в сто процентов, что строгое неравенство при интегрировании на любом конечном промежутке сохраняется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 18:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
TR63 в сообщении #724702 писал(а):
Можно дать гарантию в сто процентов, что строгое неравенство при интегрировании на любом конечном промежутке сохраняется?

Если на промежутке $[a,b] \; f(x)\le g(x)$, то $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$.
Если на промежутке $[a,b] \;  f(x)< g(x)$, то $\int_a^b f(x) dx <  \int_a^b g(x) dx$.

Отрезок можно заменить любым множеством конечной ненулевой меры.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group