Предел последовательности

[Aarnikotka]

Доброго времени суток.

Подскажите, пожалуйста, как правильно показать, что предел нижеследующей последовательности равен единице?

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2+\ln^2(n+1)}{(n+2)^2+\ln^2(n+2)}$

Изначально рассматривается комплексный ряд:

$\sum \frac{(z-2+i)^{2n+1}}{3^n ((n+2)^2+\ln^2(n+2))}$

Нужно найти круг его сходимости, для чего применяем признак Даламбера, и получаем последовательность, предел которой нужно найти. Он равен единице (так говорит Вольфрам :) но выкладки при этом не дает (даже за плату :)))))))

[Ms-dos4]

Ну во первых это просто очевидно (т.к. при стремлении к бесконечности единицами и двойками можно просто пренебречь, и всё сокращается). Ну если строго, используйте Лопиталя.

[provincialka]

Можно вынести в числителе и знаменателе первые слагаемые. Отношение логарифма к многочлену стремится к 0 (это доказывается Лопиталем).

[ewert]

provincialka в сообщении #724357 писал(а):

Отношение логарифма к многочлену стремится к 0 (это доказывается Лопиталем).

Кроме того, это на данный момент должно быть уже давно известно (это насчёт методики).

[SpBTimes]

ewert
А если по методике, то это не из того следует ли, что $\exists t_0: \forall t > t_0$ выполнено $\ln(t) < t^a, \forall a > 0$? Это ведь вроде раньше Лопиталя

[provincialka]

Это зависит от программы курса. На мехмате, наверное это доказывают до Лопиталя. У нас - с помощью.

[SpBTimes]

provincialka
Но пользуются то этим намного раньше, чем Лопиталь появляется (и даже производная, т.к. через нее тоже в момент).

[ewert]

provincialka в сообщении #724371 писал(а):

На мехмате, наверное это доказывают до Лопиталя. У нас - с помощью.

Дело не в Лопитале. С ним -- проще, но и без него не бог весть какой бином Ньютона. Дело в том, что сам результат должен быть твёрдо зазубрен задолго до степенных рядов.

[provincialka]

ewert в сообщении #724374 писал(а):

Дело в том, что сам результат должен быть твёрдо зазубрен задолго до степенных рядов.

Это точно!

[Aarnikotka]

Спасибо за помощь и подсказки. Каюсь, что сам не смог дойти до такого простого решения. Точнее вспомнить, как работать с неопределенностями.