2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предел последовательности
Сообщение15.05.2013, 19:43 
Доброго времени суток.

Подскажите, пожалуйста, как правильно показать, что предел нижеследующей последовательности равен единице?

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2+\ln^2(n+1)}{(n+2)^2+\ln^2(n+2)}$

Изначально рассматривается комплексный ряд:

$\sum \frac{(z-2+i)^{2n+1}}{3^n ((n+2)^2+\ln^2(n+2))}$

Нужно найти круг его сходимости, для чего применяем признак Даламбера, и получаем последовательность, предел которой нужно найти. Он равен единице (так говорит Вольфрам :) но выкладки при этом не дает (даже за плату :)))))))

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение15.05.2013, 19:46 
Ну во первых это просто очевидно (т.к. при стремлении к бесконечности единицами и двойками можно просто пренебречь, и всё сокращается). Ну если строго, используйте Лопиталя.

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение15.05.2013, 20:57 
Аватара пользователя
Можно вынести в числителе и знаменателе первые слагаемые. Отношение логарифма к многочлену стремится к 0 (это доказывается Лопиталем).

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение15.05.2013, 21:00 
provincialka в сообщении #724357 писал(а):
Отношение логарифма к многочлену стремится к 0 (это доказывается Лопиталем).

Кроме того, это на данный момент должно быть уже давно известно (это насчёт методики).

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение15.05.2013, 21:11 
Аватара пользователя
ewert
А если по методике, то это не из того следует ли, что $\exists t_0: \forall t > t_0$ выполнено $\ln(t) < t^a, \forall a > 0$? Это ведь вроде раньше Лопиталя

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение15.05.2013, 21:27 
Аватара пользователя
Это зависит от программы курса. На мехмате, наверное это доказывают до Лопиталя. У нас - с помощью.

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение15.05.2013, 21:32 
Аватара пользователя
provincialka
Но пользуются то этим намного раньше, чем Лопиталь появляется (и даже производная, т.к. через нее тоже в момент).

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение15.05.2013, 21:34 
provincialka в сообщении #724371 писал(а):
На мехмате, наверное это доказывают до Лопиталя. У нас - с помощью.

Дело не в Лопитале. С ним -- проще, но и без него не бог весть какой бином Ньютона. Дело в том, что сам результат должен быть твёрдо зазубрен задолго до степенных рядов.

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение15.05.2013, 21:47 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #724374 писал(а):
Дело в том, что сам результат должен быть твёрдо зазубрен задолго до степенных рядов.

Это точно!

 
 
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение16.05.2013, 08:52 
Спасибо за помощь и подсказки. Каюсь, что сам не смог дойти до такого простого решения. Точнее вспомнить, как работать с неопределенностями.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group