Предел ряда

[quantum newbie]

Добрый день.

Имеется последовательность $\{r_m\}$ положительных чисел, $\sum r_m=1$, также есть $p$ и $q=1-p$. Можно считать, если это поможет, что ряды $\sum mr_m$ и $\sum m^2r_m$ также сходятся, более того, $\sum r_mz^m$ аналитическая, радиус сходимости 1.

Нужно оценить предел

$$\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^\infty \frac{r_{n+m}}{r_m}\frac{(n\!+\!m)!}{m!\,n!}p^mq^n$$

Точнее, я бы хотел показать, если это возможно, что этот ряд $\sum r_{n+m}\frac{(n+m)!}{m!\,n!}p^mq^n$ при больших $m$ ведёт себя так же, как и $r_m$. Другими словами, этот предел должен быть константой (не $0$ и не $\infty$).

Я не знаю, как это можно показать и так ли это вообще. Была мысль как-то оценить ряд, который также представим в виде

$$\sum_{n=m+1}^\infty \frac 1{(n\!-\!m)!}\frac{n!\,r_nq^n}{m!\,r_mq_0^m}, \quad q_0=\frac qp$$

но ни к чему пока не пришел.