Вычислить интеграл (ответ не сходится)

[Ktina]

Вычислить интеграл

$$\int\frac{7x-6}{2x^2-6x+4}dx$$

Прежде всего, разложив знаменатель на множители, перепишем:

$$\int\frac{3\frac{1}{2}x-3}{(x-1)(x-2)}dx$$

Далее, представим дробь $\frac{3\frac{1}{2}x-3}{(x-1)(x-2)}$ в виде

$$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$$

Для этого избавимся от знаменателей:

$$3\frac{1}{2}x-3=A(x-2)+B(x-1)=Ax-2A+Bx-B$$

Решая систему

$$ \begin{cases} A+B=3\frac{1}{2} \\ -2A-B=-3 \end{cases} $$

, находим

$$A=-\frac{1}{2},\quad B=4$$

Таким образом, наша дробь имеет вид

$$\frac{-\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{4}{x-2}$$

И тогда интеграл получается

$$-\frac{1}{2}\ln |x-1|+4\ln |x-2|+C$$

Или, в более удобной форме

$$\ln{(x-2)^4}-\ln{\sqrt{x-1}}+C$$

Что равно

$$\ln\frac{(x-2)^4}{\sqrt{x-1}}+C$$

Однако, ответ в учебнике

$$\ln\frac{(x-2)^4}{\sqrt{x-4}}+C$$

Что я упустила на сей раз?

[ewert]

Очевидно, в учебнике: $(x-4)$ взяться просто неоткуда. Но вообще ни тот, ни другой ответ не грамотны, надо $4\ln|x-2|-\frac12\ln|x-1|$.

[Ktina]

ewert в сообщении #723680 писал(а):

Но вообще ни тот, ни другой ответ не грамотны, ...

Почему?

[Sender]

Ktina в сообщении #723681 писал(а):

Почему?

Какое значение первообразная примет, скажем, при $x=0$?

[Ms-dos4]

Цитата:

Почему?

Они не эквивалентны. Множества определения
$\[\ln \sqrt {x - 1} \]$ и $\[\frac{1}{2}\ln \left| {x - 1} \right|\]$ разные. Фактически половину области взяли и выкинули.

[Ktina]

Sender в сообщении #723684 писал(а):

Какое значение первообразная примет, скажем, при $x=0$?

$$\ln\frac{16}{i}+C$$

-- 14.05.2013, 13:57 --

Ms-dos4 в сообщении #723686 писал(а):

Они не эквивалентны. Множества значений
$\[\ln \sqrt {x - 1} \]$ и $\[\frac{1}{2}\ln \left| {x - 1} \right|\]$ разные. Фактически половину области взяли и выкинули.

То есть, выкинуть лучше этот учебник вместо половины области?

[Ms-dos4]

Цитата:

То есть, выкинуть лучше этот учебник вместо половины области?

А что за учебник?
P.S.Там про множество значений я поспешил. Естественно там область определения "режется"

[Ktina]

Ms-dos4 в сообщении #723691 писал(а):

А что за учебник?

[Ms-dos4]

Ну это не учебник. Задачник то в принципе не важно какой. Я лично все ответы на компе проверяю так как опечатки везде есть. Но вообще лучше решайте "классику" - т.е. Демидовича. Так же хорош задачник для втузов Ефимова кажется.

P.S.А сам анализ лично я учил по Смирнову - самое то. Строгость изложения достаточная, при этом там особо не морочат голову всякими теоремами существования и прочее (что вообще никому кроме чистых математиков нафиг не сдалось).

[Sender]

Цитата:

$$\ln\frac{16}{i}+C$$

А почему не

$$\ln\frac{16}{-i}+C$$

?

[Ktina]

Ms-dos4 в сообщении #723698 писал(а):

Я лично все ответы на компе проверяю так как опечатки везде есть.

Верной дорогой идёте.

-- 14.05.2013, 14:11 --

Sender в сообщении #723702 писал(а):

Цитата:

$$\ln\frac{16}{i}+C$$

А почему не

$$\ln\frac{16}{-i}+C$$

?

А чему равен корень из минус единички? Разве не $i$?

[ewert]

Ktina в сообщении #723704 писал(а):

А чему равен корень из минус единички? Разве не $i$?

Нет.

[Ktina]

ewert в сообщении #723708 писал(а):

Ktina в сообщении #723704 писал(а):

А чему равен корень из минус единички? Разве не $i$?

Нет.

Как нет?

[Ms-dos4]

Цитата:

Как нет?

$\[\sqrt { - 1} = \pm i\]$

[Ktina]

Ms-dos4 в сообщении #723711 писал(а):

$\[\sqrt { - 1} = \pm i\]$

Тогда корень из 4 равен $\pm 2$?
Да и Альфа мне подыгрывает.