Нахождения объема объед. тел

[Pyphagor]

Задача.
Даны фигуры $F_ n$
заданные неравенствами:
$3|x|^n + |8y|^n + |z|^n < 1 $ при $n = 1,2... $
Найти объем тела $F$, являющегося объединением тел $F_n$.


Мелькнула следующая идея.
При

$$ 0 < [x] < \exp(-\ln3/k) $$

множество точек $F[p]$, ($ p = k + 1 $),
целиком содержатся в $F_ k$.
Таким образом, каждопоследующее добавление - есть
(множество точек,абсцисса которых, лежит в нижеуказанных пределах)
часть тела $F_ p$ при

$$ \exp(-\ln3/k) < |x| < exp(-ln3/p) $$

.
Попытка вычислить часть фигуры $F_ p$ при помощи интеграла: фиксируя $x$,
перенося вправо и деля на выр., получим,

$$ a_p|y|^p + b_p|z|^p < 1 $$

, где $a_p$ и $b_p$ зависят от $x$.Но площадь этой фигуры (точнее интеграл) ,на плоскости, найти не удается.
Подстановки Чебышева не помогают.
Далее можно было бы по формуле объема
( в которой подкоренное выражение - площадь сечения,зависящая от параметра)
найти объем части $F_p$.
Есть получше идеи?

P.S. Кстати говоря эта задача предлагалась на олимпиаде "Ломоносов".
Очень сомнительно, если предполагалось, что школьники решат ее при помощи интегралов.

[Brukvalub]

Воспользуйтесь тем, что

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } q^n = 0 \]

при

\[\left| q \right| < 1\]

.
Поэтому объединение тел является параллелепипедом.

[Pyphagor]

Т.е. это параллепипед

$$ [x] < 1, [y] < 1/8 , [z] < 1 $$

.

[Brukvalub]

Pyphagor писал(а):

Т.е. это параллепипед

$$ [x] < 1, [y] < 1/8 , [z] < 1 $$

.

Да, если квадратными скобками теперь обозначают знак модуля.