2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Нахождения объема объед. тел
Сообщение10.07.2007, 22:46 
Задача.
Даны фигуры $F_ n$
заданные неравенствами:
$3|x|^n + |8y|^n + |z|^n < 1 $ при $n = 1,2... $
Найти объем тела $F$, являющегося объединением тел $F_n$.


Мелькнула следующая идея.
При $$ 0 < [x] < \exp(-\ln3/k) $$
множество точек $F[p]$, ($ p = k + 1 $),
целиком содержатся в $F_ k$.
Таким образом, каждопоследующее добавление - есть
(множество точек,абсцисса которых, лежит в нижеуказанных пределах)
часть тела $F_ p$ при
$$ \exp(-\ln3/k) < |x| < exp(-ln3/p) $$ .
Попытка вычислить часть фигуры $F_ p$ при помощи интеграла: фиксируя $x$,
перенося вправо и деля на выр., получим,
$$ a_p|y|^p + b_p|z|^p < 1 $$ , где $a_p$ и $b_p$ зависят от $x$.Но площадь этой фигуры (точнее интеграл) ,на плоскости, найти не удается.
Подстановки Чебышева не помогают.
Далее можно было бы по формуле объема
( в которой подкоренное выражение - площадь сечения,зависящая от параметра)
найти объем части $F_p$.
Есть получше идеи?

P.S. Кстати говоря эта задача предлагалась на олимпиаде "Ломоносов".
Очень сомнительно, если предполагалось, что школьники решат ее при помощи интегралов.

 
 
 
 
Сообщение10.07.2007, 23:03 
Аватара пользователя
Воспользуйтесь тем, что \[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } q^n  = 0
\] при \[\left| q \right| < 1\].
Поэтому объединение тел является параллелепипедом.

 
 
 
 
Сообщение10.07.2007, 23:17 
Т.е. это параллепипед $$ [x] < 1, [y] < 1/8 , [z]  < 1 $$.

 
 
 
 
Сообщение10.07.2007, 23:21 
Аватара пользователя
Pyphagor писал(а):
Т.е. это параллепипед $$ [x] < 1, [y] < 1/8 , [z]  < 1 $$.
Да, если квадратными скобками теперь обозначают знак модуля.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group