ИгорЪ, я понял, в чём дело.
Дело в том, что после подстановки связи мы должны варьировать лагранжиан
только на поверхности связи. Иначе говоря, когда мы варьируем

в преобразованной функции

, мы должны одновременно и согласованно варьировать

. Но

"выпало" из лагранжина, поэтому это получается автоматически, и такое "хитрое" варьирование сводится к простому варьированию по

. Поэтому полученный после преобразования

можно использовать в качестве лагранжиана.
И в вашем случае когда мы варьируем по

мы должны согласованно варьировать

, чтобы оставаться на поверхности

. Но

присутствует в преобразованной функции явно, поэтому это не сводится к простому варьированию по

, поэтому то, что получилось после преобразования - не лагранжиан.