Почему эквивалентны лагранжианы

[fizeg]

Я честное слово минут на 5 слов лишился. Вы мне разницу растолкуйте, как вы себе ее представляете.

-- 13.05.2013, 22:45 --

Кстати вы в курсе, что здесь решение не единственно?

-- 13.05.2013, 22:50 --

Хотя я могу понять разницу между связью в лагранжиане как очень частным случаем уд связанной с лагранжевым множителем, но если уж говорим о первичных, да вторичных, да еще и про импульсы, мы уже забрались в гамильтонов формализм с дираковской добавкой

[ИгорЪ]

warlock66613 в сообщении #723483 писал(а):

Это вы сказали "импульс".

Я оговорился,
посмотрите ссылку.

-- Пн май 13, 2013 21:56:23 --

fizeg
ссылку гляньте

[fizeg]

ИгорЪ
Что именно вы хотите, чтобы я там посмотрел?

-- 13.05.2013, 23:10 --

В общем я понял, что я хотел бы от вас услышать от начала до конца, что вы хотите рассматривать и где именно у вас появляются проблемы в понимании. Потому что я не понял, что вы понимаете, что вы не понимаете, что возможно понимаете лучше меня, а что понимаете неправильно.

Я хотел бы услышать от вас, на какое именно утверждение в том тексте вы хотите обратить наше внимание, учитывая, что если не весь, то большая часть этого текста для меня не новость.

Я хотел бы услышать от вас, признаете ли вы, что оба данных лагранжиана допускают не одно решение для одних и тех же начальных условий.

Я хотел бы услышать от вас, считаете ли вы динамической переменную, которую вы варьируете (а следовательно она может принимать неизвестные и возможно разные значения в любой момент времени, а "динамическое" слово, требующее разъяснений где, как и для чего вы его применяете)

ммм.. пока все

[ИгорЪ]

fizeg в сообщении #723494 писал(а):

Что именно вы хотите, чтобы я там посмотрел?

Как и для чего возникает условие на Гессиан. Если уравнение на е просто алгебраическое, какой смысл в гессиане? Никакого. е всегда можно выразить

То, что УД обоих лагранжианов совпадают - это факт.
Получить один из другого подстановкой УД на е получается.
Пример с маятником показывает, что такая подстановка не всегда верна. Вот и вопрос, почему и когда она верна?

[warlock66613]

ИгорЪ, вы понимаете, что

ИгорЪ в сообщении #713945 писал(а):

$L=\frac{1}{2}mr^2( \dot{\theta}^2+\sin^2\theta\ (\frac{M}{mr^2\sin^2\theta})^2)$

- это вообще не лагранжиан (просто по определению лагранжиана как функции $L(q, \dot q, t)$)?
Ваш вопрос звучит так - "почему когда я варьирую нечто, не являющееся лагранжианом, я не получаю правильные уравнения движения?". Потому что вы варьируете не лагранжиан.

[ИгорЪ]

Не лагранжиан? Пояснуйте!

[fizeg]

ИгорЪ в сообщении #723578 писал(а):

Если уравнение на е просто алгебраическое, какой смысл в гессиане? Никакого. е всегда можно выразить

Ну правильно. Выразьте, и получите уравнения из лагранжиана без $e$ с вырожденным гессианом.

А если вы это уравнение удерживаете, то извольте рассматривать вместе с остальными и оно будет формально играть такую же роль как и уравнения с производными.

[Bulinator]

То, что вы делаете подставив вместо $\dot{\phi}$ его выражение через интеграл движения $M$ ассоциируется с неправильно проделанной редукцией.
Дело в том, что на Лагранжевом языке, уравнения движения- второго порядка и, зафиксировав интеграл движения в первом порядке и продифференцировав его, вы получите нуль($\dot{M}=0$), что, вообще говоря, должно выполняться только на реальных траекториях(а у вас получается, что на всех , что, понятно, неверно). Естественным языком для редукции является Гамильтонов подход. Сделайте преобразование Лежандра, посчитайте скобки Пуассона между всеми величинами и далее фиксируйте свой интеграл движения. Тогда вы получите правильно редуцированные уравнения движения.

[fizeg]

ИгорЪ
Наказание за мою невнимательность, прочитал наконец ваше сообщение с первой страницы ... Если в лагранжиане нет производных по времени от переменной проблем с описанной заменой не будет. Можете просто расписать вариации и убедиться. Иначе, как писал Bulinator

[ИгорЪ]

Bulinator
Совершенно правильно. Вопрос то мой не о редукции. Вопрос почему аналогичная тупая подстановка с е работает.

[warlock66613]

ИгорЪ в сообщении #723615 писал(а):

Не лагранжиан? Пояснуйте!

У вас в него входит величина $M$. Это, очевидно, не $q$, не $\dot q$ и не $t$. Это и не константа (например, она зависит от начальных условий). Ей нет места в лагранжиане.

[ИгорЪ]

warlock66613
Я который раз повторяю; я изначально понимаю и указал, что это деяние с подстановкой в случае частицы на сфере не правильное! Вопрос состоит в том что делает жизнеспособным аналогичное деяние в случае двух видов лагранжианов релятивистской частицы.

[warlock66613]

ИгорЪ в сообщении #723990 писал(а):

Вопрос состоит в том что делает жизнеспособным аналогичное деяние в случае двух видов лагранжианов релятивистской частицы.

Я долго думал, как вам это объянить и пришёл к выводу, что не знаю. Я вижу различие в "деяниях", я знаю что оно значимо, но я на самом деле не понимаю почему оно приводит к таким разным результатам. Я присоединяюсь к вашему вопросу, и буду рад если кто-нибудь объяснит это. У меня есть некоторые соображения, но я не могу их для себя подтвердить или опровергнуть.

[warlock66613]

ИгорЪ, я понял, в чём дело.
Дело в том, что после подстановки связи мы должны варьировать лагранжиан только на поверхности связи. Иначе говоря, когда мы варьируем $x$ в преобразованной функции $L=-\sqrt{-\dot{x}^2}$, мы должны одновременно и согласованно варьировать $e$. Но $e$ "выпало" из лагранжина, поэтому это получается автоматически, и такое "хитрое" варьирование сводится к простому варьированию по $x$. Поэтому полученный после преобразования $L$ можно использовать в качестве лагранжиана.
И в вашем случае когда мы варьируем по $\phi$ мы должны согласованно варьировать $\theta$, чтобы оставаться на поверхности $M = const$. Но $\theta$ присутствует в преобразованной функции явно, поэтому это не сводится к простому варьированию по $\phi$, поэтому то, что получилось после преобразования - не лагранжиан.

[ИгорЪ]

Я подумаю! Спасибо!

(Оффтоп)

Я в тайге, связи почти нет, извиняюсь за неоперативность.