Циркуляция векторного поля

[Limit79]

Найти циркуляцию векторного поля $a=yz \mathbf{i}+x\mathbf{j}+xz\mathbf {k}$ по контуру $\text{Г}: x^2+y^2=1, y=z$ двумя способами: непосредственно и по теореме Стокса.

Контур - эллипс, который образуется при пересечении цилиндра $x^2+y^2=1$ плоскостью $y=z$.

Непосредственно:
Уравнение контура $\text{Г}$:

$\left\{\begin{matrix} x=\cos(t)\\ y=\sin(t)\\ z=\sin(t) \end{matrix}\right.$

Дальше вычисления довольно простые, в результате которых получаю $\text{Ц} = \pi$


По теореме Стокса:
В этом случае проблема с выбором нормали: нормаль к плоскости $y=z$ - $n(0;1;-1)$, но можно же и записать нормаль в таком виде: $n(0;-1;1)$. Подскажите, пожалуйста, какую выбрать нормаль, и исходя из каких соображений?

Далее все сводится к вычислению двойного интеграла по проекции данной поверхности на плоскость $xOy$, а она (проекция) будет кругом $x^2+y^2 \leqslant 1$.

С нормалью $n(0;1;-1)$ получаю $\text{Ц} = -\pi$, с нормалью $n(0;-1;1)$ - $\text{Ц} = \pi$.

Если результат, вычисленный непосредственно - верный, то получается необходимо выбрать нормаль $n(0;-1;1)$ (чтобы получить $\text{Ц} = \pi$), но вот из каких соображений?

[SpBTimes]

Limit79 в сообщении #723002 писал(а):

исходя из каких соображений?

Обходя контур, область должна оставаться слева (ходите вы с нормалью).

[Limit79]

SpBTimes
К сожалению, понимаю очень слабо

Это следствие из того, что контур обходится в положительном направлении? Но направление обхода контура не указано же в условии...

[provincialka]

Limit79 в сообщении #723018 писал(а):

Это следствие из того, что контур обходится в положительном направлении? Но направление обхода контура не указано же в условии...

Вот это странно! Ответ зависит от обхода. Но "по умолчанию" можно считать, что обход против часовой стрелки (если смотреть "сверху"). В этом случае и нормаль должна быть верхняя. То есть ее третья координата положительна.

[ewert]

Limit79 в сообщении #723018 писал(а):

Но направление обхода контура не указано же в условии...

Не указано (и в этом смысле условие не вполне корректно; впрочем, эта некорректность для подобных задач типична). Однако же Вы, задав параметризацию кривой определённым образом -- выбрали тем самым и направление обхода, а ему соответствует выбор направления нормали вполне однозначно.

[Limit79]

provincialka
Я так и думал, спасибо

ewert
Вы имеет ввиду изменение параметра $t$? Я выбрал его от $0$ до $2 \pi$.

[provincialka]

Limit79 в сообщении #723038 писал(а):

Вы имеет ввиду изменение параметра $t$? Я выбрал его от $0$ до $2 \pi$.

Дело не в промежутке для $t$. Дело в том, как движется точка $(x;y;z)$ при возрастании $t$

[Limit79]

provincialka
Так если $t$ изменяется от $0$ до $2\pi$ - то в этом случае можно однозначно получить координаты точки, или я что-то не так понимаю?

Другое направление будет, если изменять $t$ от $2 \pi$ до $0$

[SpBTimes]

Limit79 в сообщении #723040 писал(а):

Другое направление будет, если изменять $t$ от $2 \pi$ до $0$

Скорее, если поменять параметризацию.

[ewert]

provincialka в сообщении #723035 писал(а):

Но "по умолчанию" можно считать, что обход против часовой стрелки (если смотреть "сверху").

По умолчанию ничего нельзя считать. Вот Вы говорите "сверху"; а почему, собственно, не "справа"?... Потому, что меньше буковок писать? Но это не аргумент, а в остальном эти два варианта тут равноправны.

В приличном опчестве принято делать в таких случаях оговорки типа "направление обхода -- положительное относительно направления оси $z$" (и, кстати, запросто могут запросить положительность не обязательно относительно $z$, можно и относительно $y$, и эта вариативность весьма разумна). В неприличном же -- просто махают руками: мол, плюс там, минус?... -- а какая разница.

[Limit79]

SpBTimes
Наверное...

Я изначально несколько ошибся, нормаль-то нужна единичная, то есть $n \left ( 0;-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}} \right )$, и, если считать с такой нормалью, то ответ получается $\frac{\pi \sqrt{2}}{2}$, что не есть правильно...

[ewert]

Limit79 в сообщении #723045 писал(а):

ответ получается $\frac{\pi \sqrt{2}}{2}$, что не есть правильно...

Вы просто забыли разделить на косинус, сводя поверхностный интеграл 2-го рода к интегралу 1-го рода.

[Limit79]

ewert
А, точно, спасибо! $dS = \frac{dxdy}{|\cos(\gamma)|}$

[provincialka]

ewert в сообщении #723044 писал(а):

В приличном опчестве принято делать в таких случаях оговорки типа "направление обхода -- положительное относительно направления оси " (и, кстати, запросто могут запросить положительность не обязательно относительно , можно и относительно , и эта вариативность весьма разумна). В неприличном же -- просто махают руками: мол, плюс там, минус?... -- а какая разница.

Ну, дык... какое уж есть! Надо как-то выкручиваться. Нам-то хорошо, а человеку, может, контрольную сдавать.

-- 12.05.2013, 22:54 --

Limit79 Другое направление будет, например, если положить $x=\sin t; y=\cos t, z=\cos t$.

[Limit79]

provincialka
А, понял.

Вроде более-менее что-то получилось

SpBTimes
provincialka
ewert
Спасибо за помощь!