2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость метода простых итераций СЛАУ
Сообщение12.05.2013, 11:34 


20/03/13
5
Помогите, пожалуйста, решить СЛАУ методом простых итераций. Точнее не решить, а привести к такому виду, чтоб можно было применить этот метод (обеспечить сходимость). Как я понимаю нужно эту систему привести к виду с диагональным преобладанием, т.е. чтоб элементы на главной диагонали были больше суммы остальных элементов по модулю в этой строчке. Но как я ни пытался, ничего не получилось. Подскажите, есть ли другие способы приведения СЛАУ к необходимому для метода итераций виду или скажите как мне быть, как обеспечить сходимость метода?
Изображение
СЛАУ представлена в виде матрицы, справа столбец свободных членов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простых итераций СЛАУ
Сообщение12.05.2013, 11:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
wep6ak в сообщении #722742 писал(а):
Подскажите, есть ли другие способы приведения СЛАУ к необходимому для метода итераций виду или скажите как мне быть, как обеспечить сходимость метода?

Умножьте систему уравнений на матрицу, сопряженную матрице системы. У матрицы полученной системы оцените сверху максимальное собственное число. Так получите диапазон параметра, с которым метод простой итерации сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простых итераций СЛАУ
Сообщение12.05.2013, 11:56 


20/03/13
5
TOTAL в сообщении #722749 писал(а):
Умножьте систему уравнений на матрицу, сопряженную матрице системы. У матрицы полученной системы оцените сверху максимальное собственное число. Так получите диапазон параметра, с которым метод простой итерации сходится.

Споряженная - это транспонированная?
И что значит "сверху" максимальное собственное число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простых итераций СЛАУ
Сообщение12.05.2013, 12:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
wep6ak в сообщении #722754 писал(а):
Споряженная - это транспонированная?
И что значит "сверху максимальное собственное число"? - Самое большое число?

Умножить на транспонированную. Найти число, все собственные числа меньше которого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простых итераций СЛАУ
Сообщение12.05.2013, 12:14 


20/03/13
5
TOTAL в сообщении #722758 писал(а):
Умножить на транспонированную. Найти число, все собственные числа меньше которого.

С этим разобрались! А когда я найду это число, что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простых итераций СЛАУ
Сообщение12.05.2013, 12:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
wep6ak в сообщении #722759 писал(а):
А когда я найду это число, что дальше?
А почитаете книжки, не все ведь под диктовку делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простых итераций СЛАУ
Сообщение12.05.2013, 12:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
wep6ak в сообщении #722759 писал(а):
А когда я найду это число, что дальше?

Здесь подразумевалась схема $\dfrac{\vec x_{k+1}-\vec x_k}{\tau}=\vec b-H\vec x_k$, которая сходится для положительных матриц $H$ (именно положительная матрица получается после домножения на сопряжённую) при условии $\tau\lambda_k<1$ для всех собственных чисел $\lambda_k$.

Хотя от Вас, скорее всего, ожидался не этот вариант метода простых итераций, а обычный, без параметра. Когда матрица приводится к диагональному преобладанию элементарными преобразованиями. Это такая любимая игра в бисер преподавателей численных методов, от нечего делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простых итераций СЛАУ
Сообщение12.05.2013, 12:30 


20/03/13
5
TOTAL в сообщении #722760 писал(а):
А почитаете книжки, не все ведь под диктовку делать.

У меня в книжке написано так:
1) ...сходится, если модуль коэфф-а при переменной, стоящей на главной диагонали больше суммы модулей остальных коэфф-ов (формула);
2) ...сходится если сумма коэфф-ов по модулю меньше 1 в каждой строке (формула).

-- 12.05.2013, 11:34 --

ewert в сообщении #722763 писал(а):
Хотя от Вас, скорее всего, ожидался не этот вариант метода простых итераций, а обычный, без параметра. Когда матрица приводится к диагональному преобладанию элементарными преобразованиями. Это такая любимая игра в бисер преподавателей численных методов, от нечего делать.

Именно так мы всегда и решали СЛАУ методом простых итераций, но эту я не могу привести к диагональному преобладанию. Товарищ TOTAL предложил неизвестный мне способ и я всего лишь пытаюсь его понять.

-- 12.05.2013, 11:37 --

Вот я и спрашиваю, что делать когда найду максимальное собственное число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простых итераций СЛАУ
Сообщение12.05.2013, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
wep6ak в сообщении #722767 писал(а):
Товарищ TOTAL предложил неизвестный мне способ и я всего лишь пытаюсь его понять.

Вот я и спрашиваю, что делать когда найду максимальное собственное число?


Вот товарищ ewert Вам уже сказал, что делать:

ewert в сообщении #722763 писал(а):
Здесь подразумевалась схема $\dfrac{\vec x_{k+1}-\vec x_k}{\tau}=\vec b-H\vec x_k$, которая сходится для положительных матриц $H$ (именно положительная матрица получается после домножения на сопряжённую) при условии $\tau\lambda_k<1$ для всех собственных чисел $\lambda_k$.


$\tau\lambda_k<2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простых итераций СЛАУ
Сообщение12.05.2013, 12:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
wep6ak в сообщении #722767 писал(а):
Вот я и спрашиваю, что делать когда найду максимальное собственное число?

Вы не найдёте максимальное собственное число -- это за конечное количество шагов невозможно. Но для итерационного метода это и не нужно -- достаточно получить гарантированную оценку сверху для этого числа. Такой оценкой (пусть и довольно завышенной) может служить любая операторная норма матрицы, которую можно вычислить явно -- например, равномерная.

Что делать дальше -- перечитать предыдущие посты, всё уже написано. Хотя не очень понятно, зачем, раз от Вас ожидают не этого способа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простых итераций СЛАУ
Сообщение12.05.2013, 13:04 


20/03/13
5
Спасибо за помощь

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group