Сходимость метода простых итераций СЛАУ

[wep6ak]

Помогите, пожалуйста, решить СЛАУ методом простых итераций. Точнее не решить, а привести к такому виду, чтоб можно было применить этот метод (обеспечить сходимость). Как я понимаю нужно эту систему привести к виду с диагональным преобладанием, т.е. чтоб элементы на главной диагонали были больше суммы остальных элементов по модулю в этой строчке. Но как я ни пытался, ничего не получилось. Подскажите, есть ли другие способы приведения СЛАУ к необходимому для метода итераций виду или скажите как мне быть, как обеспечить сходимость метода?

СЛАУ представлена в виде матрицы, справа столбец свободных членов.

[TOTAL]

wep6ak в сообщении #722742 писал(а):

Подскажите, есть ли другие способы приведения СЛАУ к необходимому для метода итераций виду или скажите как мне быть, как обеспечить сходимость метода?

Умножьте систему уравнений на матрицу, сопряженную матрице системы. У матрицы полученной системы оцените сверху максимальное собственное число. Так получите диапазон параметра, с которым метод простой итерации сходится.

[wep6ak]

TOTAL в сообщении #722749 писал(а):

Умножьте систему уравнений на матрицу, сопряженную матрице системы. У матрицы полученной системы оцените сверху максимальное собственное число. Так получите диапазон параметра, с которым метод простой итерации сходится.

Споряженная - это транспонированная?
И что значит "сверху" максимальное собственное число?

[TOTAL]

wep6ak в сообщении #722754 писал(а):

Споряженная - это транспонированная?
И что значит "сверху максимальное собственное число"? - Самое большое число?

Умножить на транспонированную. Найти число, все собственные числа меньше которого.

[wep6ak]

TOTAL в сообщении #722758 писал(а):

Умножить на транспонированную. Найти число, все собственные числа меньше которого.

С этим разобрались! А когда я найду это число, что дальше?

[TOTAL]

wep6ak в сообщении #722759 писал(а):

А когда я найду это число, что дальше?

А почитаете книжки, не все ведь под диктовку делать.

[ewert]

wep6ak в сообщении #722759 писал(а):

А когда я найду это число, что дальше?

Здесь подразумевалась схема $\dfrac{\vec x_{k+1}-\vec x_k}{\tau}=\vec b-H\vec x_k$, которая сходится для положительных матриц $H$ (именно положительная матрица получается после домножения на сопряжённую) при условии $\tau\lambda_k<1$ для всех собственных чисел $\lambda_k$.

Хотя от Вас, скорее всего, ожидался не этот вариант метода простых итераций, а обычный, без параметра. Когда матрица приводится к диагональному преобладанию элементарными преобразованиями. Это такая любимая игра в бисер преподавателей численных методов, от нечего делать.

[wep6ak]

TOTAL в сообщении #722760 писал(а):

А почитаете книжки, не все ведь под диктовку делать.

У меня в книжке написано так:
1) ...сходится, если модуль коэфф-а при переменной, стоящей на главной диагонали больше суммы модулей остальных коэфф-ов (формула);
2) ...сходится если сумма коэфф-ов по модулю меньше 1 в каждой строке (формула).

-- 12.05.2013, 11:34 --

ewert в сообщении #722763 писал(а):

Хотя от Вас, скорее всего, ожидался не этот вариант метода простых итераций, а обычный, без параметра. Когда матрица приводится к диагональному преобладанию элементарными преобразованиями. Это такая любимая игра в бисер преподавателей численных методов, от нечего делать.

Именно так мы всегда и решали СЛАУ методом простых итераций, но эту я не могу привести к диагональному преобладанию. Товарищ TOTAL предложил неизвестный мне способ и я всего лишь пытаюсь его понять.

-- 12.05.2013, 11:37 --

Вот я и спрашиваю, что делать когда найду максимальное собственное число?

[TOTAL]

wep6ak в сообщении #722767 писал(а):

Товарищ TOTAL предложил неизвестный мне способ и я всего лишь пытаюсь его понять.

Вот я и спрашиваю, что делать когда найду максимальное собственное число?

Вот товарищ ewert Вам уже сказал, что делать:

ewert в сообщении #722763 писал(а):

Здесь подразумевалась схема $\dfrac{\vec x_{k+1}-\vec x_k}{\tau}=\vec b-H\vec x_k$, которая сходится для положительных матриц $H$ (именно положительная матрица получается после домножения на сопряжённую) при условии $\tau\lambda_k<1$ для всех собственных чисел $\lambda_k$.

$\tau\lambda_k<2$

[ewert]

wep6ak в сообщении #722767 писал(а):

Вот я и спрашиваю, что делать когда найду максимальное собственное число?

Вы не найдёте максимальное собственное число -- это за конечное количество шагов невозможно. Но для итерационного метода это и не нужно -- достаточно получить гарантированную оценку сверху для этого числа. Такой оценкой (пусть и довольно завышенной) может служить любая операторная норма матрицы, которую можно вычислить явно -- например, равномерная.

Что делать дальше -- перечитать предыдущие посты, всё уже написано. Хотя не очень понятно, зачем, раз от Вас ожидают не этого способа.

[wep6ak]

Спасибо за помощь