Сила натяжения нити: mgcos a или mg/cos a

[Seergey]

warlock66613 в сообщении #722551 писал(а):

Seergey в сообщении #722549 писал(а):

она не уравновешена полностью ускорением

Нет такого понятия "сила, уравновешенная ускорением". Есть второй закон Ньютона. Все эти равенства между силами следуют из него. Очень часто забывают про правую часть ($m\mathbf{a}$) и получают противоречия и/или неверный результат. А раскладывать можно по любым осям - если всё сделать правильно, результат будет одинаков.

Да но что бы рассматривать силы нужно их уравновесить. Добавление "силы ускорения" позволяет приравнять все проекции к нулю.

[warlock66613]

Seergey в сообщении #722553 писал(а):

Да но что бы рассматривать силы нужно их уравновесить.

Нет, не нужно (см. ниже).

Seergey в сообщении #722553 писал(а):

Добавление "силы ускорения" позволяет приравнять все проекции к нулю.

Вы конечно получите верный результат, но физически такое действие плохо обусловлено. Лучше так не делать (я бы снял пару баллов за "силы ускорения" или за "уровновешивание силы ускорением" доведись мне проверять выше решение).

PS. Я подредактировал свой последний пост, перечитайте на всякий случай.

[Seergey]

Вот что я имею ввиду для математического маятника:

Для красных осей:


Для синих осей:

[warlock66613]

Вот-вот. У вас $\mathbf{a}$ направлено в противоположную (по сравнению с правильной) сторону.
(А на втором рисунке надо бы $m\mathbf{a}$ тоже разложить по осям для порядка).

-- 11.05.2013, 23:27 --

$m\mathbf{a}$ - это результирующая сила, которая равна сумме (векторной) всех сил, а у вас получилось "наоборот".

[Seergey]

Для синих осей составим уравнения:

Tcos a + masin a - mg=0 (1) && Tsin a=macos a (2)

из (1) Tcos a=mg-masin a => T=mg/cos a - matg a

из (2) ma = Tsin a/cos a

подставим ma из (2) в (1)

T=mg/cos a - (Tsin a/cos a)tg a
T=mg/cos a - T(sin a)^2 / (cos a)^2
T(1+(sin a)^2 / (cos a)^2)=mg/cos a
T( ((sin a)^2+(cos a)^2)/(cos a)^2 )=mg/cos a домножим обе части на (cos a)^2 не равный 0

T( (sin a)^2+(cos a)^2 )=mgcos a приводя тригонометрическое тождество получим

T=mgcos a Правильно?

[warlock66613]

Правильно.

-- 11.05.2013, 23:48 --

Только лучше всё-таки начинать решение с записи этих уравнений в векторном виде. А потом переходить к проекциям.

[nestoronij]

warlock66613 в сообщении #722538 писал(а):

nestoronij в сообщении #722528 писал(а):

А из рис. по Y думаю понятно равенство проекций.

Ну конечно, если их нарисовать равными, то они будут равны. Но на самом-то деле, это не так. (Кстати и на рисунке они у вас не равны, но насколько я понял это просто погрешность рисунка.)
$m\mathbf{g} = \mathbf{P}$ - с какой стати (если $\mathbf{P}$ - это вес)? В общем случае это не так, в этом тоже. Тем более это не так, если $|a_y|=g$ Опять же, если $\mathbf{P}$ - это вес, то $P \neq T \cos \alpha$. Ну и если $P = T \cos \alpha$ - это определение $P$, то всё равно $P \neq mg$ и я не могу понять, откуда вы вообще берёте все эти равенства.
Соотношение между $T$ и $mg$ легко вывести, используя законы Ньютона и нерастижимость подвеса. Также можно найти и ускорение. Ничего больше не требуется.

-- 11.05.2013, 22:22 --

matidiot в сообщении #722534 писал(а):

В первом сообщении от ТС все ответы прекрасно видны на отличных рисунках, похоже по вопросам, что это не его рисунки.

Ускорение там не нарисовано, результирующая сила тоже, пропорции несоблюдены (равные векторы нарисованы неравными). Где вы там увидели ответ? Там можно увидеть только неверный ответ.

1. Длины векторов, проекций и вообще рисунки не обязательно масштабировать.Важны знаки проекций.
2. Разберитесь что такое вес и сила тяжести. Где Вы узрели, что я говорил $\vec P$ - вес? И что вы можете сказать конкретно о неправомочности равенства $Tcosa = mg$ из моего рис? Такое встречаю впервые. Это второй закон Ньютона, когда сила тяжести уравновешена силой натяжения нерастяжимой нити.
3. Маятник движется под действием двух ускорений $a_n$ и g и результирующее направлено по касательной, как правильно здесь отмечалось. И уважаемый warlock66613, ещё раз говорю $a_y = g$. Нормальное ускорение по радиусу к центру вращения. Так что всё изобразил и описал.
3. Система координат вводится для облегчения и понятности вида уравнений динамики. Ответ задачи не зависит от направления осей. Эту задачу, т.е. силы расписать в любой системе координат (цилиндрической, полярной, трёх мерной декартовой и т.д.) и будем целый день писать уравнения. ТС создал себе трудности, повернув двух-мерную систему, теперь важно не ошибиться в проекциях, но сравнивать проекции для разных систем координат негоже. Отсюда и возник вопрос.

[Seergey]

Теперь понятно почему советуют выбирать оси по направлению ускорения. Но у меня есть ещё вопросы. Куда направлено центростремительное ускорение? Движение маятника не равномерно. Но в точках максимального отклонения маятник не движется. Т. е. Центростремительного ускорения нет? Как только он начинает двигаться то появляется возрастающее центростремительное ускорение и в положении равновесия оно максимально? (v^2/R)

[warlock66613]

Seergey в сообщении #722578 писал(а):

Но в точках максимального отклонения маятник не движется. Т. е. Центростремительного ускорения нет? Как только он начинает двигаться то появляется возрастающее центростремительное ускорение и в положении равновесия оно максимально? (v^2/R)

Всё правильно. В точках максимального отклонения ускорение перепендикулярно подвесу (вы кстати использовали (даже опирались на) этот факт при решении - вы же рисовали куда направлено ускорение, чтобы найти потом его проекции). Т. е. центростремительное ускорение равно нулю. А в положении равновесия тангенциальное ускорение равно нулю, а нормальное (центростремительное) максимально.

[Seergey]

warlock66613 в сообщении #722583 писал(а):

Seergey в сообщении #722578 писал(а):

Но в точках максимального отклонения маятник не движется. Т. е. Центростремительного ускорения нет? Как только он начинает двигаться то появляется возрастающее центростремительное ускорение и в положении равновесия оно максимально? (v^2/R)

Всё правильно. В точках максимального отклонения ускорение перепендикулярно подвесу (вы кстати использовали (даже опирались на) этот факт при решении - вы же рисовали куда направлено ускорение, чтобы найти потом его проекции). Т. е. центростремительное ускорение равно нулю. А в положении равновесия тангенциальное ускорение равно нулю, а нормальное (центростремительное) максимально.

То есть как только груз начал двигаться то ускорение уже не перпендикулярно нити? а поворачивается к ней против часовой стрелки если груз движется слева направо? Тогда ускорение можно найти по теореме пифагора как текущее ускорение в квадрате равно сумме квадратов тангенциального и центростремительного? (где острый угол равен текущему углу)

[warlock66613]

nestoronij в сообщении #722577 писал(а):

Маятник движется под действием двух ускорений

Вообще-то он движется под действием сил, но не ускорений.

nestoronij в сообщении #722577 писал(а):

Это второй закон Ньютона, когда сила тяжести уравновешена

Это в статике силы уравновешивают друг друга, в динамике это не так.

nestoronij в сообщении #722577 писал(а):

И что вы можете сказать конкретно о неправомочности равенства $Tcosa = mg$ из моего рис?

Я ничего не могу сказать об этом из вашего рисунка. И о правомочности тоже. Рисунка тут мало. Впрочем из последнего русунка Seergey (там только перед $m\mathbf{a}$ надо минус поставить) я могу сказать, что это равенство неверно.

nestoronij в сообщении #722577 писал(а):

сравнивать проекции для разных систем координат негоже

В уравнении $Tcos\alpha=mg$ проекций нет. Все величины инвариантные. Поэтому это весьма полезно, убедиться в том, что для разных систем координат мы получаем одно и то же. А если не получаем - спросить почему. И ответ "потому что нельзя сравнивать проекции для разных систем координат" неверный, потому что проекций в уравнении нет.

-- 12.05.2013, 00:26 --

Seergey в сообщении #722593 писал(а):

То есть как только груз начал двигаться то ускорение уже не перпендикулярно нити? а поворачивается к ней против часовой стрелки если груз движется слева направо? Тогда ускорение можно найти по теореме пифагора как текущее ускорение в квадрате равно сумме квадратов тангенциального и центростремительного? (где острый угол равен текущему углу)

На всё ответ - да.

-- 12.05.2013, 00:36 --

Только не факт что вектор ускорения просто вращается. Вохможно он и по модулю меняется, я так с ходу сказать не могу.

[Seergey]

С математическим маятником все понятно. С коническим все тоже самое. А если конический маятник раскручивать все сильнее и сильнее (то есть само движение по окружности не будет равномерным) то какая сила будет поднимать груз вверх?

[nestoronij]

warlock66613 в сообщении #722594 писал(а):

Маятник движется под действием двух ускорений

Пардон. Маятник имеет два ускорения в общем случае. Иногда в механнике говорят: тело приобрело скорость под действием ускорения ( имеется ввиду сила). Но это, конечно словоблудие.

warlock66613 в сообщении #722594 писал(а):

Это второй закон Ньютона, когда сила тяжести уравновешена

Второй закон Ньютона справедлив для случая а = 0, так и для случая 0 <a> 0

warlock66613 в сообщении #722594 писал(а):

nestoronij в сообщении #722577 писал(а):

В уравнении $Tcos\alpha=mg$ проекций нет. Все величины инвариантные. Поэтому это весьма полезно, убедиться в том, что для разных систем координат мы получаем одно и то же. А если не получаем - спросить почему. И ответ "потому что нельзя сравнивать проекции для разных систем координат" неверный, потому что проекций в уравнении нет.

Это и есть проекции сил на оси. Ну конечно инвариантность будем понимать как неизменность физической величины от преобразований. Об этом никто на спорит.
Но мне странно "слышать", что Tcosa не проекция вектора силы T, направленной под углом а к оси. А что это по Вашему?

[warlock66613]

Seergey в сообщении #722609 писал(а):

А если конический маятник раскручивать все сильнее и сильнее (то есть само движение по окружности не будет равномерным) то какая сила будет поднимать груз вверх?

Сила натяжения нити. При ускорении она будет возрастать. Но это примерно как сказать что когда мы идём, то мы движемся, потому что нас толкает сила трения. Формально это так, но сила трения (как и сила натяжения и вообще все силы реакции) возникает не сама по себе, а именно как реакция на другие силы.
В данном случае сила, ускоряющая груз, растягивает нить, соответственно увеличивается сила натяжения, в том числе её вертикальная проекция, поэтому груз начинает подниматься.

-- 12.05.2013, 01:20 --

nestoronij в сообщении #722617 писал(а):

Tcosa не проекция вектора силы T, направленной под углом а к оси. А что это по Вашему?

Это проекция векторы силы на ось, но не на ось координат, а просто на конкретную ось в пространстве. Такая проекция не зависит от наличия какой-либо системы координат и может быть вычеслена в любой из них. Когда я говорил "там нет проекций", я имел в виду "проекций на оси координат" - ведь именно такие проекции принимают разные значения в разных системах координат.

-- 12.05.2013, 01:22 --

nestoronij в сообщении #722617 писал(а):

Маятник имеет два ускорения в общем случае.

Тело не может иметь два ускорения ни в каком случае - оно одно. Его можно разложить на составляющие (например, нормальную и танценциальную или любым другим образом), но ускорение - оно одно. Конечно можно при желании ввести понятие "ускорение силы" (по аналогии с "импульсом силы"), но называть его ускорением тела нельзя.
Ну и если $\mathbf{a}=\mathbf{g}+\mathbf{a}_n$ (я так понял, вы это имеете в виду), то $\mathbf{a}_n$ - это не центростремительное ускорение (то есть не то, что обычно обозначают $\mathbf{a}_n$), потому что $\mathbf{g}$ также имеет ненулевую нормальную составляющую.

[nestoronij]

Seergey в сообщении #722609 писал(а):

С математическим маятником все понятно. С коническим все тоже самое. А если конический маятник раскручивать все сильнее и сильнее (то есть само движение по окружности не будет равномерным) то какая сила будет поднимать груз вверх?

А вот смотрите:
$a_n = Tsina$
При увеличении ускорения должна увеличиваться T, как правильно отмечено, так и как следствие этого, возрастать угол а, следовательно радиус вращения увеличивается.

-- 12.05.2013, 00:49 --

warlock66613 в сообщении #722618 писал(а):

Маятник имеет два ускорения в общем случае.
Тело не может иметь два ускорения ни в каком случае - оно одно. Его можно разложить на составляющие (например, нормальную и танценциальную или любым другим образом), но ускорение - оно одно. Конечно можно при желании ввести понятие "ускорение силы" (по аналогии с "импульсом силы"), но называть его ускорением тела нельзя.

Может. В n- мерном пространстве тело может иметь n независимых ускорений, как простой пример: $a_x, a_y, a_z$ и соответственно полное результирующее ускорение. Да это составляющие, как и у маятника $a_n, g$ при сложении оно одно - результат. Но они независимы! И стартующая ракета ускоряется одновременно по x,y, z. И баллистики как раз и рассчитывают их, чтобы соблюсти курс. Даже дуновение ветра учитывают. Теннисный мяч - сколько имеет скоростей? Сумма векторов их общую скорость.

(Оффтоп)

прошу прощения за примитивный пример.