Введение в топологию

[nastyurina]

Помогите придумать хороший пример
задача была такая:
есть два метрических пространства, и одно в другое можно непрерывно взаимно однозначно отобразить, и другое в одно тоже.
то есть два непр. взаимно однозн. отображения - из первого пространства во второе и из второго в первое.
привести пример,когда эти два пространства НЕгомеоморфны

[Sonic86]

nastyurina в сообщении #722073 писал(а):

есть два метрических пространства, и одно в другое можно непрерывно взаимно однозначно отобразить, и другое в одно тоже.
то есть два непр. взаимно однозн. отображения - из первого пространства во второе и из второго в первое.

Такие метрические пространства называются гомотопически эквивалентными, если я не ошибаюсь.

nastyurina в сообщении #722073 писал(а):

привести пример,когда эти два пространства НЕгомеоморфны

Пример есть в книге Васильева Введение в топологию в главе 2.
Правда, я его не понимаю пока

[JMH]

Такой пример привести невозможно потому, что условие задачи практически цитирует определение гомеоморфизма. И тот факт, что пространства метрические тут ни при чём.

[provincialka]

JMH в сообщении #722083 писал(а):

Такой пример привести невозможно потому, что условие задачи практически цитирует определение гомеоморфизма. И тот факт, что пространства метрические тут ни при чём.

Нет, не цитирует. Гомеоморфизм должен быть не только взаимно однозначен, но и непрерывен в обе стороны. В задаче же каждое из двух отображений непрерывно только в одну сторону.

[nastyurina]

provincialka в сообщении #722091 писал(а):

JMH в сообщении #722083 писал(а):

Такой пример привести невозможно потому, что условие задачи практически цитирует определение гомеоморфизма. И тот факт, что пространства метрические тут ни при чём.

Нет, не цитирует. Гомеоморфизм должен быть не только взаимно однозначен, но и непрерывен в обе стороны. В задаче же каждое из двух отображений непрерывно только в одну сторону.

Да,это правда
в определении - непрерывна функция и обратная ей(!)
а тут две независимые функции, обе непрерывные

-- 10.05.2013, 22:37 --

Sonic86 в сообщении #722080 писал(а):

nastyurina в сообщении #722073 писал(а):

есть два метрических пространства, и одно в другое можно непрерывно взаимно однозначно отобразить, и другое в одно тоже.
то есть два непр. взаимно однозн. отображения - из первого пространства во второе и из второго в первое.

Такие метрические пространства называются гомотопически эквивалентными, если я не ошибаюсь.

nastyurina в сообщении #722073 писал(а):

привести пример,когда эти два пространства НЕгомеоморфны

Пример есть в книге Васильева Введение в топологию в главе 2.
Правда, я его не понимаю пока

Спасибо, почитаю сейчас

[g______d]

Первое: подмножество $\mathbb R$, состоящее из интервалов вида $[4n;4n+1]$ и $[4n+2;4n+3)$.

Второе: подмножество $\mathbb R$, состоящее из интервалов вида $[4n;4n+1]$ и $(4n+2;4n+3)$.

Отображение сверху вниз: разбиваем полуоткрытые интервалы на счетное число счетных наборов, из каждого набора склеиваем открытые (паровозиком).

Снизу вверх: половину замкнутых интервалов отображаем во все замкнутые, вторую половину склеиваем с открытыми и получаем полуоткрытые.

[provincialka]

Хм, разве при этом непрерывность не нарушится? Склеивание - ладно, это хорошая операция. Но вот разрезание?
Ведь близкие точки должны переходить в близкие, а они у вас по паровозикам расселись

[g______d]

provincialka в сообщении #722143 писал(а):

Хм, разве при этом непрерывность не нарушится? Склеивание - ладно, это хорошая операция. Но вот разрезание?

Сорри, не точно написал. У нас счетное число интервалов, разобъем их на счетное число групп со счетным числом интервалов в каждой. Сами интервалы не разрезаем.

[g______d]

В книге Гелбаума и Олнстеда "Контрпримеры в анализе" (глава 12) есть еще 2 примера.