Найти площадь части поверхности

[Sheogorath]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Хотелось бы попросить помощи в решении следующей задачи:
Найти площадь части поверхности $z^2=2xy$, отсекаемой плоскостями $x+y=1$, $x=0$, $y=0$.
Моя попытка решения.
Плоскости отсекают от данной поверхности два куска: первый лежит в первом октанте, второй симметричен первому и находится в пятом октанте. Поэтому достаточно найти площадь одного куска и умножить на два.
$z^2=2xy$, следовательно $z=\sqrt{2xy}$
$z_x'=\frac{y}{\sqrt{2xy}}$
$z_y'=\frac{x}{\sqrt{2xy}}$
$ds=\sqrt{1+\frac{y^2}{2xy}+\frac{x^2}{2xy}}=\frac{x+y}{\sqrt{2xy}}$
$S=\int_0^1 dx \int_{0}^{1-x} \frac{x+y}{\sqrt{2xy}}dy$
Решаем внутренний интеграл:
$\int_{0}^{1-x} \frac{x+y}{\sqrt{2xy}}=$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \int_{0}^{1-x} \frac{x}{\sqrt{xy}} dy + \int_{0}^{1-x} \frac{y}{\sqrt{xy}} dy \right) =$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left. 2 \sqrt{yx} \right|_{0}^{1-x} + \left. \frac23 \sqrt{\frac{y^3}{x}} \right|_{0}^{1-x} \right) =$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( 2 \sqrt{(1-x)x} + \frac23 \sqrt{\frac{(1-x)^3}{x}} \right)$
Получаем внешний интеграл:
$\sqrt{2} \int_0^1 \left( \sqrt{(1-x)x} + \frac13 \sqrt{\frac{(1-x)^3}{x}} \right) dx$
Собственно вопрос. Верен ли ход моего решения? Если да, то как решить получившийся интеграл. Если же мое решение неверно, то как правильно?
Буду признателен за помощь.

[provincialka]

Вроде верно, но очень сложно. Попробуйте замену $x+y=u, x-y=v$. Вроде, получается хорошо.

[Otta]

В целом приемлемо. Только откуда кусок во пятом октанте?

Sheogorath в сообщении #722136 писал(а):

$S=\int_0^1 dx \int_{0}^{1-x} \frac{x+y}{\sqrt{2xy}}dy$
Решаем внутренний интеграл:
$\int_{0}^{1-x} \frac{x+y}{\sqrt{2xy}}=$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \int_{0}^{1-x} \frac{x}{\sqrt{xy}} dy + \int_{0}^{1-x} \frac{y}{\sqrt{xy}} dy \right) =$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left. 2 \sqrt{yx} \right|_{0}^{1-x} + \left. \frac23 \sqrt{\frac{y^3}{x}} \right|_{0}^{1-x} \right) =$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( 2 \sqrt{(1-x)x} + \frac23 \sqrt{\frac{(1-x)^3}{x}} \right)$

И вот здесь я бы поступила иначе. Второе слагаемое явно хуже первого, так? Так почему бы не избавиться от него вовремя, разбив иходный интеграл сразу на два слагаемых, но для первого оставив тот же порядок интегрирования, а для второго - сменить его?
Получится гораздо приятнее и вполне решаемо.

Впрочем, и этот Ваш интеграл можно без труда победить, напр., тригонометрической заменой. Типа квадрата синуса и т.п.

А так да - верно, но лучше замену делать вовремя.

[provincialka]

Otta в сообщении #722153 писал(а):

В целом приемлемо. Только откуда кусок во пятом октанте?

Честно говоря, не знаю нумерацию октантов, но, думаю, имеется в виду нижняя половинка этого "лежачего конуса", т.е. случай $z<0$.

А вообще-то поверхность конуса можно подсчитать и без интегралов!

[Sheogorath]

Спасибо за помощь, вроде бы решил.
Последовал совету: разбил исходный интеграл на два и изменил порядок интегрирования во втором. Получилось два одинаковых интеграла (только в первом переменная - $x$, а во втором - $y$).

Цитата:

Честно говоря, не знаю нумерацию октантов, но, думаю, имеется в виду нижняя половинка этого "лежачего конуса", т.е. случай $z<0$.

Да, это я и имел в виду. А эта поверхность - конус?

[Nacuott]

Геометрическая иллюстрация к задаче.

[Sheogorath]

О, а какими средствами был построен график?

[Nacuott]

Sheogorath в сообщении #722289 писал(а):

О, а какими средствами был построен график?

MathCad.