2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти площадь части поверхности
Сообщение10.05.2013, 22:39 


10/05/13
11
Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Хотелось бы попросить помощи в решении следующей задачи:
Найти площадь части поверхности $z^2=2xy$, отсекаемой плоскостями $x+y=1$, $x=0$, $y=0$.
Моя попытка решения.
Плоскости отсекают от данной поверхности два куска: первый лежит в первом октанте, второй симметричен первому и находится в пятом октанте. Поэтому достаточно найти площадь одного куска и умножить на два.
$z^2=2xy$, следовательно $z=\sqrt{2xy}$
$z_x'=\frac{y}{\sqrt{2xy}}$
$z_y'=\frac{x}{\sqrt{2xy}}$
$ds=\sqrt{1+\frac{y^2}{2xy}+\frac{x^2}{2xy}}=\frac{x+y}{\sqrt{2xy}}$
$S=\int_0^1 dx \int_{0}^{1-x} \frac{x+y}{\sqrt{2xy}}dy$
Решаем внутренний интеграл:
$\int_{0}^{1-x} \frac{x+y}{\sqrt{2xy}}=$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \int_{0}^{1-x} \frac{x}{\sqrt{xy}} dy + \int_{0}^{1-x} \frac{y}{\sqrt{xy}} dy \right) =$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left. 2 \sqrt{yx} \right|_{0}^{1-x} + \left. \frac23 \sqrt{\frac{y^3}{x}} \right|_{0}^{1-x} \right) =$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( 2 \sqrt{(1-x)x} + \frac23 \sqrt{\frac{(1-x)^3}{x}} \right)$
Получаем внешний интеграл:
$\sqrt{2} \int_0^1 \left( \sqrt{(1-x)x} + \frac13 \sqrt{\frac{(1-x)^3}{x}} \right) dx$
Собственно вопрос. Верен ли ход моего решения? Если да, то как решить получившийся интеграл. Если же мое решение неверно, то как правильно?
Буду признателен за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти площадь части поверхности
Сообщение10.05.2013, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Вроде верно, но очень сложно. Попробуйте замену $x+y=u, x-y=v$. Вроде, получается хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти площадь части поверхности
Сообщение10.05.2013, 23:23 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
В целом приемлемо. Только откуда кусок во пятом октанте?
Sheogorath в сообщении #722136 писал(а):
$S=\int_0^1 dx \int_{0}^{1-x} \frac{x+y}{\sqrt{2xy}}dy$
Решаем внутренний интеграл:
$\int_{0}^{1-x} \frac{x+y}{\sqrt{2xy}}=$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \int_{0}^{1-x} \frac{x}{\sqrt{xy}} dy + \int_{0}^{1-x} \frac{y}{\sqrt{xy}} dy \right) =$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left. 2 \sqrt{yx} \right|_{0}^{1-x} + \left. \frac23 \sqrt{\frac{y^3}{x}} \right|_{0}^{1-x} \right) =$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left( 2 \sqrt{(1-x)x} + \frac23 \sqrt{\frac{(1-x)^3}{x}} \right)$

И вот здесь я бы поступила иначе. Второе слагаемое явно хуже первого, так? Так почему бы не избавиться от него вовремя, разбив иходный интеграл сразу на два слагаемых, но для первого оставив тот же порядок интегрирования, а для второго - сменить его?
Получится гораздо приятнее и вполне решаемо.

Впрочем, и этот Ваш интеграл можно без труда победить, напр., тригонометрической заменой. Типа квадрата синуса и т.п.

А так да - верно, но лучше замену делать вовремя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти площадь части поверхности
Сообщение11.05.2013, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Otta в сообщении #722153 писал(а):
В целом приемлемо. Только откуда кусок во пятом октанте?

Честно говоря, не знаю нумерацию октантов, но, думаю, имеется в виду нижняя половинка этого "лежачего конуса", т.е. случай $z<0$.

А вообще-то поверхность конуса можно подсчитать и без интегралов! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти площадь части поверхности
Сообщение11.05.2013, 11:18 


10/05/13
11
Спасибо за помощь, вроде бы решил. :D
Последовал совету: разбил исходный интеграл на два и изменил порядок интегрирования во втором. Получилось два одинаковых интеграла (только в первом переменная - $x$, а во втором - $y$).
Цитата:
Честно говоря, не знаю нумерацию октантов, но, думаю, имеется в виду нижняя половинка этого "лежачего конуса", т.е. случай $z<0$.

Да, это я и имел в виду. А эта поверхность - конус?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти площадь части поверхности
Сообщение11.05.2013, 11:43 


20/04/12
147
Геометрическая иллюстрация к задаче.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти площадь части поверхности
Сообщение11.05.2013, 11:48 


10/05/13
11
О, а какими средствами был построен график?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти площадь части поверхности
Сообщение11.05.2013, 12:28 


20/04/12
147
Sheogorath в сообщении #722289 писал(а):
О, а какими средствами был построен график?

MathCad.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group