Снова полоски, только длинные

[DrVirogov]

Недавно здесь обсуждалась задача про оклеивание куба:

Ktina в сообщении #721330 писал(а):

....
Грани куба $n\times n\times n$ разбиты на единичные клетки.
Куб оклеен без наложений бумажными полосками $2\times 1$ (стороны полосок идут по сторонам клеток).
Доказать, что при чётных $n$ число согнутых полосок чётно, а при нечётных $n$ число согнутых полосок нечётно.

Симпатичная задача, но слишком простая.
Вот если взять полоски подлиннее, то все становится гораздо более запутано.
А правда, что при оклеивании куба со стороной $n$ полосками $3\times 1$ придется сделать $m$ сгибов и при этом $n \equiv m \pmod 3$ ?

[DrVirogov]

К сожалению, неправда. По крайней мере для $n\equiv 0 \pmod 3$. Для других n надежда ещё есть.