Чётность числа полосок

[Ktina]

gris в сообщении #695895 писал(а):

"Я же не терминал, какие на ещё полоски!"

(по мотивам задачи А. Полянского)
Грани куба $n\times n\times n$ разбиты на единичные клетки.
Куб оклеен без наложений бумажными полосками $2\times 1$ (стороны полосок идут по сторонам клеток).
Доказать, что при чётных $n$ число согнутых полосок чётно, а при нечётных $n$ число согнутых полосок нечётно.

[hippie]

Покрасим клетки граней в шахматном порядке, так, чтобы соседние клетки граней были одного цвета. Тогда все полоски, лежащие на одной грани, разноцветные, а согнутые $-$ одноцветные.
При чётном $n$ белых и чёрных клеток поровну. Поэтому число чёрных полосок равно числу белых. А при нечётном $n$ клеток "углового" цвета на 6 больше, чем "неуглового" цвета. Поэтому число полосок "углового" цвета на 3 больше, чем "неуглового".

(Оффтоп)

В наше время девушки на Крещение гадают на бумаге.
Они покупают специально подготовленную Бумагу, производят над ней Специальные Магические Действия и изучают Появляющиеся Полоски.
Если полосок Чётное Число, то девушке в этом году нужно срочно выйти замуж!

[Ktina]

hippie в сообщении #721339 писал(а):

Покрасим клетки граней в шахматном порядке, так, чтобы соседние клетки граней были одного цвета. Тогда все полоски, лежащие на одной грани, разноцветные, а согнутые $-$ одноцветные.
При чётном $n$ белых и чёрных клеток поровну. Поэтому число чёрных полосок равно числу белых. А при нечётном $n$ клеток "углового" цвета на 6 больше, чем "неуглового" цвета. Поэтому число полосок "углового" цвета на 3 больше, чем "неуглового".

У меня раскраска такая же, как у Вас, но решение чуточку иное.

Для нечётных $n$:

От противного. Пусть число согнутых полосок чётно. Тогда число несогнутых нечётно (так как всего полосок нечётное число). А это значит, что всего белых клеток тоже нечётное число (так как каждая согнутая полоска покрывает чётное число белых клеток, а несогнутая -- нечётное). Но всего белых клеток должно быть чётное число (поскольку граней всего шесть и на каждой одинаковое количество белых клеток).
Противоречие!

Для чётных $n$:

От противного. Пусть число согнутых полосок нечётно. Тогда число несогнутых нечётно (так как всего полосок чётное число). А это значит, что всего белых клеток тоже нечётное число (так как каждая согнутая полоска покрывает чётное число белых клеток, а несогнутая -- нечётное). Но всего белых клеток должно быть чётное число (поскольку граней всего шесть и на каждой одинаковое количество белых клеток).
Противоречие!

-- 08.05.2013, 22:17 --

hippie в сообщении #721339 писал(а):

(Оффтоп)

В наше время девушки на Крещение гадают на бумаге.
Они покупают специально подготовленную Бумагу, производят над ней Специальные Магические Действия и изучают Появляющиеся Полоски.
Если полосок Чётное Число, то девушке в этом году нужно срочно выйти замуж!

(Оффтоп)

Вы видели цитату grisа, взятую мной в качестве эпиграфа?
Ну так там о тех же полосках