"Причудливая" кривая

[alexo2]

Я так понял, что я должен отреагировать на предупреждение уважаемого AKM, раз он отредактировал и дополнил свое первоначальное сообщение?
Так вот - я принял к сведению...

[AKM]

(alexo2)

alexo2 в сообщении #665521 писал(а):

я должен отреагировать ..., раз он отредактировал и дополнил...

Вы неправильно поняли. Я написал самодостаточную претензию, а потом, убедившись, что картошка ещё не сварилась, добавил для Вас детали произведённой оплошности --- конкретную синтаксическую ошибку. Если бы картошка сварилась, то, наверное, не отредактировал бы и не добавил бы.

Вы же, похоже, до сих пор не ознакомились с Аксиоматикой форума. Ваше последнее сообщение малость не дотягивает до нарушения аксиомы и) из группы аксиом 1), в нестрогих интерпретациях цитируемой иногда как "обсуждение действий модератора в тематической разделе".

-- 30 дек 2012, 22:57 --

[alexo2]

(Оффтоп)

Понял... Картошка варится.

[alexo2]

Напомню, пытаемся доказать, что
(1)$x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$
не имеет решений в натуральных числах кроме тривиальных.
В (1) левая часть представляет собой число вида:
(2)$1+6T_3$, где $T_3$ - треугольное число.
Правая часть:
(3)$1+10T_5$, где $T_5$ - треугольное число.
Чтобы выполнялось (1), необходимо, чтобы выполнялось:
(4)$6T_3=10T_5$ или $3T_3=5T_5$
Отсюда, используя свойство треугольных чисел, перейдем к квадратам:
(5)$3a^2+2=5b^2$
С другой стороны, умножив обе части (1) на $8$ для левой из них получим:
(6)$(2x)^3-(2(x-1))^3$ При этом, разность двух кубов, разность оснований которых равна 2 составляет сумму двух последовательных треугольных чисел и двойки.
Используем ещё одно свойство треугольных чисел - сумма последовательных равна квадрату. Причем квадрат этот будет ровно тот же самый, что и в (5), то есть, равен $a^2$. Тогда, для правой части, применяя обычное умножение и добавление для квадрата, можем записать:
(7)$6a^2-1=5b^2$.
Решая совместно (5) и (7) приходим к
(8)$2a^2=a^2+1$ имеющему единственное решение в натуральных числах:
(9)$a=1$...
Уважаемый nnosipov, видимо, это и есть то что Вы называете "удачное стечение обстоятельств"?
Все равно, как мне кажется, красиво получилось...

[alexo2]

Прошу прощения - опять ошибка в арифметике

[alexo2]

Опять интересный "побочный" результат - хоть что-то, на первый взгляд неочевидное, удалось доказать элементарным способом.
А именно, - то что одновременное выполнение:
$x^3 = y^3 - (y-1)^3$
и
$x^5 = z^5 - (z-1)^5$

в натуральных числах невозможно.
Это доказывается решением системы тождественных уравнений, соответственно:

$4x^3 = 3a^2+1$
$4x^5 = 5b^2-1$

[nnosipov]

alexo2, докажите.

[Алексей К.]

alexo2 в сообщении #722108 писал(а):

Это доказывается решением системы тождественных уравнений,

Заодно было бы интересно узнать, что есть "тождественное уравнение", и чем оно отличается от просто тождества. Про систему оных тогда, наверное, сами догадаемся.