Нахождение объема тройным интегралом

[Fantasina]

Добрый день и с Праздником всех.

Помогите, пожалуйста, разобраться в задачке. Есть сфера с уравнением $x^2+y^2+z^2=a^2$ и цилиндр с уравнением $(x-a/2)^2+y^2=a^2 / 4$

Вообщем, решаю следующим способом:
сначала в Декартовых координатах $V=2\int\limits_{0}^{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} dz \int\limits_{-\sqrt{a^2/4 - (x-a/2)^2}}^{\sqrt{a^2/4 - (x-a/2)^2}}dy \int\limits_{0}^{a} dx = 2\int\limits_{0}^{a} \int\limits_{-\sqrt{a^2/4 - (x-a/2)^2}}^{\sqrt{a^2/4 - (x-a/2)^2}}\sqrt{a^2-x^2-y^2} dx dy $
Переходим в цилиндрические координаты
$V= 2\int\limits_{0}^{a/2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{a^2-r^2}r dr d\varphi $

Интеграл берется легко, но вопрос в том, какие границы интегрирования по фи необходимо подставить? Если бы цилиндр лежал осью на оси OZ, то это было бы от 0 до 2тт. Но тут он смещен по Х вправо на а/2.

Заранее спасибо!

[provincialka]

А какую кривую на плоскости описывает второе уравнение?
Кстати, пределы в последнем интеграле расставлены неверно: они не постоянны.

Подставьте выражения для $x,y$ в уравнение границы - это даст и уравнение границы интегрирования, и границы для $\varphi$.

[Fantasina]

То есть границы в интеграле $\int\limits_{0}^{a} dx$ не верны? Но ведь в предыдущих двух я использовал в границах уравнения проекции на ОХУ и уравнение непосредственно поверхности сферы. Остается только задействовать обычное расстояние сечения вдоль ОХ. Прошу прощения если это не правильная точка зрения.

По поводу уравнения границы. От куда его взять? Вы имеете в виду кривую, которая получается пересечением двух фигур? И какая разница между уравнением границы и уравнением границ интегрирования? Мне кажется, что это одно и то же. Если это так, то как я подставлю в неизвестное уравнение х и у, чтобы получить это же уравнение? Рекурсия какая-то.

[Shtorm]

Fantasina, provincialka имела ввиду самый последний интеграл, где Вы уже перешли к полярным координатам - соответственно и пределы должны быть в одном интеграле с углами - как Вы и сделали, а в другом - пределы должны быть с полярным радиусом, что Вы пока не сделали. Для того, чтобы это сделать возьмите уравнение цилиндра исходное - оно также будет уравнением окружности на плоскости основания фигуры, объём которой Вы находите. Раскройте скобки - кой-что сократится, затем подставляйте декартовы координаты, выраженные через полярные.

[iifat]

Fantasina в сообщении #721533 писал(а):

То есть границы в интеграле $\int\limits_{0}^{a} dx$ не верны?

Верны, только так не пишут. Ваш интеграл $\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{-\sqrt{a^2/4 - (x-a/2)^2}}^{\sqrt{a^2/4 - (x-a/2)^2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dzdydx$

-- 10.05.2013, 00:03 --

Fantasina в сообщении #721522 писал(а):

какие границы интегрирования по фи необходимо подставить?

Границы, в которых он меняется, естественно. Фиксируете $r$ и ищете пределы $\varphi$.

[ewert]

Fantasina в сообщении #721522 писал(а):

$V= 2\int\limits_{0}^{a/2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{a^2-r^2}r dr d\varphi $

Дело даже не в том, что пределы неверны, а в том, что запись бессмысленна.

Это какой интеграл -- двойной или повторный?... Если двойной, то пределы просто неуместны. Если же повторный, но надо честно и указывать, в каком именно порядке интегрируется, т.е. честно записать его как $\int r\,dr\int d\varphi\cdot\sqrt{a^2-r^2}$ или как $\int d\varphi\int r\,dr\cdot\sqrt{a^2-r^2}$, а потом уж разбираться с пределами в зависимости от выбранного варианта (впрочем, почти всегда выгоднее оказывается второй).

[Nacuott]

Fantasina Полярное уравнение окружности для вашего случая $r=a \cos(\phi)$.
Отсюда легко найти пределы интегрирования.

Nacout, замечание за неоформление формул $\TeX$ом. Формулы поправил