Решить интеграл после переходя к полярным координатам

[Trurlol]

Интеграл решен, но есть сомнения в правильности его решения. Если вас не затруднит, просмотрите решение пожалуйста.
И так, имеется интеграл $\iint\limits_D \, \frac{x}{x^2 + y^2}\dif dx\,\dif dy$, область D: $x^2 - 4x + y^2 = 0, x^2 - 8y + y^2 = 0, y = 0, y = x\sqrt{3}$.

$0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{3}$, $4\cos\varphi \leqslant \rho \leqslant 8\cos\varphi$

$x = \rho\cos\varphi$
$y = \rho\sin\varphi$
$dxdy = \rho d\rho d\varphi$

$\iint\limits_D \, \frac{\rho\cos\varphi}{\rho^2(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi)}\rho\dif d\rho\,\dif d\varphi$ = \iint\limits_D \, \cos\varphi\dif d\rho\,\dif d\varphi = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}d\varphi \int_{4\cos\varphi}^{8\cos\varphi}\cos\varphi d\rho=$
$= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos\varphi(8\cos\varphi - 4\cos\varphi) d\varphi = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos^2\varphi d\varphi = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1+\cos2\varphi)d\varphi = $
$= \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

[Shtorm]

У Вас в исходном условии написано:

Trurlol в сообщении #721092 писал(а):

$.... x^2 - 8y + y^2 = 0, .....$.

А затем, ниже на рисунке, Вы это условие меняете и пишете:

$x^2 + y^2 = 8x$ и соответственно в полярных координатах $\rho=8\cos\varphi$

Где опечатка? Если опечатка на подписи к рисунку - то и рисунок неверный и далее пределы интегрирования неверны.

[Trurlol]

Опечатка в исходом условии, должно быть $x^2 -8x + y^2 = 0 $

[Shtorm]

Я не вижу больше ошибок, а из-за чего сомнения?

[Trurlol]

Плоховато разобрался с переходом к полярным координатам, вот и сомнения. Есть еще небольшой вопрос. Что означает под интегральная функция $\frac{x}{x^2 + y^2}$?

[Someone]

Саму себя и означает.
Кстати, она называется "подынтегральная функция".

[bot]

Trurlol в сообщении #721204 писал(а):

Что означает подынтегральная функция $\frac{x}{x^2 + y^2}$?

Хижина Робинзона имеет в основании плоскую область $D$, в каждой точке $(x; y)$ этой области высота хижины равна $\frac{x}{x^2 + y^2}$ ...