2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить интеграл после переходя к полярным координатам
Сообщение08.05.2013, 12:26 


25/11/12
76
Интеграл решен, но есть сомнения в правильности его решения. Если вас не затруднит, просмотрите решение пожалуйста.
И так, имеется интеграл $\iint\limits_D \, \frac{x}{x^2 + y^2}\dif dx\,\dif dy$, область D: $x^2 - 4x + y^2 = 0, x^2 - 8y + y^2 = 0, y = 0, y = x\sqrt{3}$.
Изображение
$0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{3}$, $4\cos\varphi \leqslant \rho \leqslant 8\cos\varphi$

$x = \rho\cos\varphi$
$y = \rho\sin\varphi$
$dxdy = \rho d\rho d\varphi$

$\iint\limits_D \, \frac{\rho\cos\varphi}{\rho^2(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi)}\rho\dif d\rho\,\dif d\varphi$ = \iint\limits_D \, \cos\varphi\dif d\rho\,\dif d\varphi = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}d\varphi  \int_{4\cos\varphi}^{8\cos\varphi}\cos\varphi d\rho=$
$= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos\varphi(8\cos\varphi - 4\cos\varphi) d\varphi = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos^2\varphi d\varphi = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1+\cos2\varphi)d\varphi = $
$= \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить интеграл после переходя к полярным координатам
Сообщение08.05.2013, 13:46 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
У Вас в исходном условии написано:
Trurlol в сообщении #721092 писал(а):
$.... x^2 - 8y + y^2 = 0, .....$.


А затем, ниже на рисунке, Вы это условие меняете и пишете:

$x^2 + y^2 = 8x$ и соответственно в полярных координатах $\rho=8\cos\varphi$

Где опечатка? Если опечатка на подписи к рисунку - то и рисунок неверный и далее пределы интегрирования неверны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить интеграл после переходя к полярным координатам
Сообщение08.05.2013, 14:47 


25/11/12
76
Опечатка в исходом условии, должно быть $x^2 -8x + y^2 = 0 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить интеграл после переходя к полярным координатам
Сообщение08.05.2013, 14:56 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Я не вижу больше ошибок, а из-за чего сомнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить интеграл после переходя к полярным координатам
Сообщение08.05.2013, 16:51 


25/11/12
76
Плоховато разобрался с переходом к полярным координатам, вот и сомнения. Есть еще небольшой вопрос. Что означает под интегральная функция $\frac{x}{x^2 + y^2}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить интеграл после переходя к полярным координатам
Сообщение08.05.2013, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17991
Москва
Саму себя и означает.
Кстати, она называется "подынтегральная функция".

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить интеграл после переходя к полярным координатам
Сообщение10.05.2013, 06:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Trurlol в сообщении #721204 писал(а):
Что означает подынтегральная функция $\frac{x}{x^2 + y^2}$?

Хижина Робинзона имеет в основании плоскую область $D$, в каждой точке $(x; y)$ этой области высота хижины равна $\frac{x}{x^2 + y^2}$ ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group