Найти максимум

[arqady]

Найдите
1. $\max\limits_{x^2+y^2+z^2\neq0}\frac{x+2y+3z}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}}$
2. $\max\limits_{x^2+y^2+z^2+t^2\neq0}\frac{x+2y+3z+4t}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+t^2}}$

[denisart]

А если будет $n$ переменных, то ответ будет

$$\frac{( 1+2^2 +3^2 + ... +n^2 ) }{ ( \sqrt{1+2^2}+\sqrt{2^2+3^2}+...+\sqrt{ (n-1)^2 + n^2 } )} ?$$

[arqady]

Нет.

[alex7851]

$3$ и $4$, а в $n$-мерном, похоже, $ n$ $ (n>2)$.

[provincialka]

Можно предложить почти тупой счетный метод. Оба выражения однородны в том смысле, что при замене $x, y, ...$ на $kx,ky,...$ значение сохраняется. Значит, некоторое выражение, не обращающееся в 0 можно считать равным единице. Например, знаменатель.
Получаем задачу на условный экстремум $x+2y+3z\to \max, \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}=1$
Правда, точка экстремума $(0; 0;1)$ соответствует случаю, когда некоторые производные не существуют.

-- 07.05.2013, 00:28 --

Можно еще так. Легко догадаться, что максимум в п.1 равен 3. Докажем, что дробь не больше 3. Это равносильно условию
$x+2y+3z\le3(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2})$ или $(x+2y-3\sqrt{x^2+y^2})+3(z-\sqrt{y^2+z^2})\le0$.
Оба слагаемых неположительны, что легко проверить равносильными преобразованиями соответствующих неравенств (для каждого слагаемого в отдельности).

-- 07.05.2013, 00:47 --

В общем виде. Докажем, что $\max\frac{x_1+2x_2+...+nx_n}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}+\sqrt{x_2^2+x_3^2}+...+\sqrt{x_{n-1}^2+x_n^2}}=n$.
Это значение достигается в любой точке вида $(0,0,...,a), a>0$. Разобьем числитель на $n-1$ слагаемое так:
$x_1+2x_2+...+nx_n=(x_1+x_2)+(x_2+2x_3)+...+(x_{n-2}+(n-1)x_{n-1})+nx_n$. Каждое слагаемое, кроме последнего, имеет вид $x_k+mx_{k+1}, m<n$. По свойству скалярного произведения имеем $x_k+mx_{k+1}\le\sqrt{1+m^2}\sqrt{x_k^2+x_{k+1}^2}\le n\sqrt{x_k^2+x_{k+1}^2}$

После очевидных преобразований это завершает доказательство.

[arqady]

Теперь следующие задачи должны быть простыми.
Найдите
1. $\max\limits_{x^2+y^2+z^2\neq0}\frac{x+2y+2z}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}}$
2. $\max\limits_{x^2+y^2+z^2+t^2\neq0}\frac{x+2y+2z+2t}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+t^2}}$

[provincialka]

В обоих случаях ответ $\sqrt5$

[TelmanStud]

Все таки в первом случае ответ наверно $3$. Легко подобрать $x,y,z$, чтоб выражение получилось больше$ \sqrt{5}$
К примеру:
${x= 1.24,y=2.48,z=8.56}$

[provincialka]

TelmanStud в сообщении #720832 писал(а):

Все таки в первом случае ответ наверно $3$. Легко подобрать $x,y,z$, чтоб выражение получилось больше$ \sqrt{5}$
К примеру:
${x= 1.24,y=2.48,z=8.56}$

Нет, подсчет дает примерно 1,995.

[arqady]

provincialka в сообщении #720753 писал(а):

В обоих случаях ответ $\sqrt5$

И когда он достигается?

[provincialka]

arqady в сообщении #721014 писал(а):

provincialka в сообщении #720753 писал(а):

В обоих случаях ответ $\sqrt5$

И когда он достигается?

$y=2x$, остальные нули.

[alex7851]

Очень странно в этом топике считают.

Цитата:

Теперь следующие задачи должны быть простыми.

Либо я что-то упускаю, либо они гораздо сложнее.

(Оффтоп)

1. Вроде как $\frac{\sqrt{65}}{4}$ при $ (\frac{4}{7}t, t, 8t)$, где $t>0$. Система из первых производных, приравненных к нулю как-то решается аналитически (в матпакете, там уравнения 4 степени), а вот матрица Гессе не знакоопределена. Но в точках $ (\frac{4}{7}t, t, 8t)$ при $t\ne0$ функция принимает два разных значения, зависящих от знака $t$, одно больше другого, и при $t>0$ минимума быть не может. Осталось показать, что точкой перегиба тоже не может. Может и можно доказать в лоб, что больше $\frac{\sqrt{65}}{4}$ значений функция не принимает, вот только догадаться до $\frac{\sqrt{65}}{4}$ сложнее, чем до $3$.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #720686 писал(а):

Теперь следующие задачи должны быть простыми.
Найдите
1. $\max\limits_{x^2+y^2+z^2\neq0}\frac{x+2y+2z}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}}$

$\sqrt{4^2+7^2}\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{1^2+8^2}\sqrt{y^2+z^2}\ge (4x+8y+8z)$

[arqady]

Вот-вот!

alex7851 в сообщении #721072 писал(а):

вот только догадаться до $\frac{\sqrt{65}}{4}$ сложнее, чем до $3$.

Можно, как видите, $\frac{\sqrt{65}}{4}$ честно получить без компьютера.
Потренируйтесь получать максимум на второй задаче.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #720686 писал(а):

Теперь следующие задачи должны быть простыми.
Найдите
2. $\max\limits_{x^2+y^2+z^2+t^2\neq0}\frac{x+2y+2z+2t}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+t^2}}$

$\max\limits_{x^2+y^2+z^2+t^2\neq0}\frac{x+2y+2z+2t}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+t^2}}=\sqrt{q^2-4q+8}$

где $q$ - положительный корень уравнения : $q^4-10q^2+64q-103=0$