Функциональные уравнения

[asia.fahrieva]

Здравствуйте. У меня 2 вопроса.

1). Существуют ли функции $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых функциональное уравнение

$$ |f(x)-f(y)|=\frac{1}{|\varphi(x)-\varphi(y)|} $$

имеет решение $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ для всех $x\neq y$?

2). Пусть $\varphi(x)=x$.

Имеет ли решение функциональное уравнение

$$ |f(x)-f(y)|=\frac{1}{|x-y|} $$

для всех $x\neq y$?

[Oleg Zubelevich]

asia.fahrieva в сообщении #720441 писал(а):

Существуют ли функции $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых функциональное уравнение

$$ |f(x)-f(y)|=\frac{1}{|\varphi(x)-\varphi(y)|} $$

имеет решение $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ для всех $x\neq y$?

обе функции определены с точностью до адитивной постоянной, не сужая общности будем считать, что $f(0)=\varphi (0)=0$ тогда $f(x)=\sigma(x)/\varphi(x),\quad \sigma\in\{\pm1\},\quad x\ne 0$
пишем уравнение только на $\varphi$. если в этом уравнении выбрать $y$ таким, что $\varphi (y)\ne 0$ то получим уравнение на $\varphi(x)$ откуда вроде бы должно следовать, что функция $\varphi(x)$ принимает конечное множество значений при $x\in\mathbb{R}$

[hippie]

Не существует.

Функция $\varphi$ должна быть инъективной. Но для любой инъективной $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ можно указать такие $x_1\ne x_2\ne x_3\ne x_1,$ что $\frac 1{|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|} > \frac 1{|\varphi(x_1)-\varphi(x_3)|} + \frac 1{|\varphi(x_3)-\varphi(x_2)|}.$