Треугольник и три центра описанных окружностей

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Вот такое утверждение мне удалось доказать, но есть некоторые вопросы.

В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ отмечена произвольная точка $D$. Около треугольников $ABC$, $ABD$ и $CBD$ описаны окружности с центрами $O$, $O_1$ и $O_2$ соответственно.

Пусть прямая $O_1O$ пересекает прямую $CO_2$ в точке $L$. Тогда угол $O_1LO_2$ равен сумме углов $BAO_1$ и $ACO$.

Пусть середины $BC$ и $AB$ –точки $F$ и $E$ соответственно. Продолжим отрезок $AO_1$ до пересечения с прямой $CO_2$ в точке $K$. Тогда нетрудно доказать, что $K$ лежит на окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как, по теореме о вписанном угле, $\angle{EOF}=180-ABC$, а $\angle{AKC}=\angle{ ABC}$, то четырёхугольник $OO_1KO_2$- вписанный.



Продолжим отрезки $O_1K $и $OO_2$ до пересечения в точке $P$. Согласно известной теореме, биссектрисы углов $O_1PO$ и $O_1LK (l_1)$ перпендикулярны (четырёхугольник $O_1KO_2O$- трапеция только тогда, когда треугольник $ABC$- равнобедренный). Проведём высоту $AA_1$ треугольника $ABC$ и биссектрису угла $A_1AO_1$ (обозначим её $l_2$). Так как прямая, перпендикулярная одной параллельной прямой перпендикулярна и другой (это свойство здесь надо применить два раза), то прямые $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны. Ясно, что прямая $O_1O$ перпендикулярна $AB$. Обозначим точку пересечения $l_1$ и $l_2$ как $T$. Тогда четырёхугольник AETL- вписанный. Обознаим половину угла $A_1AO_1$ как $x$, а угол $BAA_1$ как $y$. Тогда $\angle{ELT}=x+y$, $\angle{ O_1LO_2}=2x+2y$, а так как $\angle{BAA_1}=\angle{ACO}$, то угол $O_1LO_2$ равен сумме углов $BAO_1$ и $ACO$, ч.т.д.
Вопрос: для всех ли случаев утверждение верно (его, кстати, и проще можно доказать)? Думается, что, если $BC<AC$, оно может видоизмениться. Или если треугольник тупоугольный, а не остроугольный. Но вот в каком случае это вероятнее всего: когда $O_1$ лежит внутри треугольника $ABA_1$, а не вне.

[nnosipov]

Nikolai Moskvitin в сообщении #719418 писал(а):

В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ отмечена произвольная точка $D$. Около треугольников $ABC$, $ABD$ и $CBD$ описаны окружности с центрами $O$, $O_1$ и $O_2$ соответственно.

Пусть прямая $O_1O$ пересекает прямую $CO_2$ в точке $L$. Тогда угол $O_1LO_2$ равен сумме углов $BAO_1$ и $ACO$.

Как ни странно, это верное утверждение Только его нужно правильно сформулировать (и это снимет все Ваши вопросы): ориентированный угол $O_1LO_2$ равен сумме ориентированных углов $BAO_1$ и $ACO$. Теперь совершенно не важно, лежит ли точка $D$ на стороне $AC$ или на прямой $AC$, является ли треугольник $ABC$ остроугольным или тупоугольным и т.п.