2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Треугольник и три центра описанных окружностей
Сообщение04.05.2013, 13:10 


15/05/12

359
Здравствуйте!

Вот такое утверждение мне удалось доказать, но есть некоторые вопросы.

В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ отмечена произвольная точка $D$. Около треугольников $ABC$, $ABD$ и $CBD$ описаны окружности с центрами $O$, $O_1$ и $O_2$ соответственно.

Пусть прямая $O_1O$ пересекает прямую $CO_2$ в точке $L$. Тогда угол $O_1LO_2$ равен сумме углов $BAO_1$ и $ACO$.

Пусть середины $BC$ и $AB$ –точки $F$ и $E$ соответственно. Продолжим отрезок $AO_1$ до пересечения с прямой $CO_2$ в точке $K$. Тогда нетрудно доказать, что $K$ лежит на окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как, по теореме о вписанном угле, $\angle{EOF}=180-ABC$, а $\angle{AKC}=\angle{ ABC}$, то четырёхугольник $OO_1KO_2$- вписанный.

Изображение

Продолжим отрезки $O_1K $и $OO_2$ до пересечения в точке $P$. Согласно известной теореме, биссектрисы углов $O_1PO$ и $O_1LK (l_1)$ перпендикулярны (четырёхугольник $O_1KO_2O$- трапеция только тогда, когда треугольник $ABC$- равнобедренный). Проведём высоту $AA_1$ треугольника $ABC$ и биссектрису угла $A_1AO_1$ (обозначим её $l_2$). Так как прямая, перпендикулярная одной параллельной прямой перпендикулярна и другой (это свойство здесь надо применить два раза), то прямые $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны. Ясно, что прямая $O_1O$ перпендикулярна $AB$. Обозначим точку пересечения $l_1$ и $l_2$ как $T$. Тогда четырёхугольник AETL- вписанный. Обознаим половину угла $A_1AO_1$ как $x$, а угол $BAA_1$ как $y$. Тогда $\angle{ELT}=x+y$, $\angle{ O_1LO_2}=2x+2y$, а так как $\angle{BAA_1}=\angle{ACO}$, то угол $O_1LO_2$ равен сумме углов $BAO_1$ и $ACO$, ч.т.д.
Вопрос: для всех ли случаев утверждение верно (его, кстати, и проще можно доказать)? Думается, что, если $BC<AC$, оно может видоизмениться. Или если треугольник тупоугольный, а не остроугольный. Но вот в каком случае это вероятнее всего: когда $O_1$ лежит внутри треугольника $ABA_1$, а не вне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник и три центра описанных окружностей
Сообщение04.05.2013, 14:22 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Nikolai Moskvitin в сообщении #719418 писал(а):
В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ отмечена произвольная точка $D$. Около треугольников $ABC$, $ABD$ и $CBD$ описаны окружности с центрами $O$, $O_1$ и $O_2$ соответственно.

Пусть прямая $O_1O$ пересекает прямую $CO_2$ в точке $L$. Тогда угол $O_1LO_2$ равен сумме углов $BAO_1$ и $ACO$.
Как ни странно, это верное утверждение :-) Только его нужно правильно сформулировать (и это снимет все Ваши вопросы): ориентированный угол $O_1LO_2$ равен сумме ориентированных углов $BAO_1$ и $ACO$. Теперь совершенно не важно, лежит ли точка $D$ на стороне $AC$ или на прямой $AC$, является ли треугольник $ABC$ остроугольным или тупоугольным и т.п.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group