Уравнения в рациональных числах 2

[scwec]

1.Найдите хотя бы одно решение в рациональных числах уравнения $4(x+\frac{1}{x})=3(y+\frac{1}{y})$.
2.Докажите, что уравнение $2(x+\frac{1}{x})=3(y+\frac{1}{y})$ не имеет решений в рациональных числах.

[gris]

1.Долго ли искать?
Два и три. Надо было написать — хотя бы два решения.

[scwec]

Ожидаемый ответ. Коварство заключается в том, что надо решить уравнение $24(x+\frac{1}{x})=23(y+\frac{1}{y})$ Двойки-то недописаны.

[gris]

Знаю Вас
Решишь — Вы скажете, что и пятёрки не дописаны или тридцатьчетвёрки.

[scwec]

gris, прошу прощения, я проморгал два и три, которые Вы сразу указали. Но в задаче ведь не только ответ интересен, а больше метод, которым он получается. Вот для первоначального уравнения без двоек есть, например, решение $x=\frac{16}{15},y=\frac{20}{9}$ и оно получено совсем не наугад. Вообще, для каких-то натуральных $n$ уравнение $(n+1)(x+\frac{1}{x})=n(y+\frac{1}{y})$ имеет решение, а для каких-то нет.
Для $n=3,23$ и для многих других решения есть. Для $n=2$ нет.
В задаче и предлагается найти какой-то подход к решению таких уравнений в рациональных числах.

[gris]

Да я понял, что метод. Просто в этих ваших числовых задачах для меня достаточно хоть одно решение найти. А для теории ужо силёнок не хватает.

[scwec]

По п.1 хотя бы одно рациональное решение может быть найдено из имеющейся связи уравнения $N(x+\frac{1}{x})=(N+1)(y+\frac{1}{y})\qquad(1)$ c решением системы уравнений Лича $u^2+v^2=t^2, u^2+((2N+1)v)^2=w^2\qquad(2)$ в натуральных числах.
А именно, опуская подробности, если известно натуральное решение $(2)$ ($u,v,t,w$), то рациональное решение $(1)$ находится по формулам
$x=\frac{tw\pm(u^2-(2N+1)v^2)}{2(N+1)uv}$
$y=\frac{tw\pm(u^2+(2N+1)v^2)}{2Nuv}$. Так и было найдено уже упомянутое решение $x=\frac{16}{15},y=\frac{20}{9}$ для $N=3$.
Систематизированные решения системы Лича приведены здесь.
http://web.archive.org/web/20070419204748/http://maths.paisley.ac.uk/allanm/ecrnt/leech/leechres
По п.2 решению бы помогло доказательство того, что система $a^2+b^2=c^2, 13a^2+13b^2-24ab=d^2$ не имеет решения в натуральных числах, $gcd(a,b)=1$, $ab$ четное.

[Коровьев]

Добавлю, как говорят, свои 5 копеек.
Если при рациональных $a,x_0,y_0$
$$a\left( {x_0 + \frac{1}{{x_0 }}} \right) = y_0 + \frac{1}{{y_0 }}$
то
$$a\left( {x_1 + \frac{1}{{x_1 }}} \right) = y_1 + \frac{1}{{y_1 }}$
где
$$x_1 = \frac{{2x_0 \left( {1 - y_0 ^2 } \right)}}{{\left( {1 - x_0 ^2 } \right)\left( {1 + y_0 ^2 } \right)}} $

$$y_1 = \frac{{2y_0 \left( {1 - x_0 ^2 } \right)}}{{\left( {1 - y_0 ^2 } \right)\left( {1 + x_0 ^2 } \right)}}$

[scwec]

Напишу параметрическое решение уравнения $(1)$. Это возможно сделать, например, для $N=2k^2+1$, где $k$ - натуральное.
Система Лича $(2)$ в этом случае имеет натуральные решения
$u=(4k^2-1)(16k^4+12k^2+4)$,
$v=8k(4k^2+1)$,
$t=64k^6+32k^4+4k^2+4$,
$w=64k^6+160k^4+68k^2+4$.
Подставляя $u,v,t,w,N$ в формулы для $x,y$ в моем предыдущем сообщении получаем 1-параметрическое решение $(1)$.
Для $k=1$ получается, как и выше, $x=\frac{16}{15},y=\frac{20}{9}$.
А вот дальше можно пускать в ход наблюдение Коровьев и получать новые решения для $k=1$.
Таким способом можно получить бесконечное число решений для всех натуральных $k$.