Я тут примерно с месяц назад обещал рассказать про правильный предельный переход от метрических теорий гравитации к Ньютоновской теории с потенциалом

.
Ну, в общем, вот...
Пусть значит есть так сказать Ньютоновский Лагранжиан (и, соответственно, Гамильтониан) описывающий движение в Ньютоновском потенциале

:


Но мы-то знаем, что согласно принципу эквивалентности гравитационный потенциал

всегда можно заменить (безвихревым) полем скоростей

, поэтому рассмотрим эквивалентную (нерелятивистскую) неинерциальную систему:


Делаем преобразование:

Гамильтониан (4) превращается в Гамильтониан очень похожий на (2):

где введено обозначение

Требуем чтобы преобразование (5) было каноническим.

Скобка Пуассона новых импульсов равна ротору поля скоростей

. Значит импульс

будет каноническим, а движение в поле

будет эквивалентным движению в потенциале

тогда, когда поле скоростей

безвихревое (когда его ротор равен нулю).
Таким образом, мы доказали теорему, о том что нерелятивистское движение в безвихревом поле скоростей

эквиалентно (существует каноническое преобразование) нерелятивистскому движению в потенциале

, который связанн с

формулой (7).
Теперь вдруг выясняется, что потенциал

(или эквивалентное ему поле скоростей

) очень сильный, частица разгоняется прямо до самых субстветовых скоростей, поэтому надо срочно рассмотреть релятивистское движение. Но с потенциалом

это сделать невозможно, а вот с полем скоростей

это делается на счёт раз. Вместо (2) и (3) получаем:


Это и есть решение задачи релятивизации движения в гравитационном потенциале

. Поле скоростей здесь абсолютно тоже самое - (7). Если взять поле скоростей

, то из Гамильтониана (10) получится и правильная прецессия перигелия Меркурия и (в случае

) правильное отклонение луча света проходящего вблизи поверхности Солнца.
Итак, на первом шаге мы по формуле (7) заменили потенциал

эквивалентным ему в нерелятивистском пределе безвихревым полем скоростей

. На втором шаге перешли к релятивистским скоростям:

,

.
Осталось заметить, что (9) соответствует свободному падению в гравитационном поле с метрикой:

Именно метрика (11) отвечает за предельный переход от всяких разных метрических теорий гравитации к Ньютоновской теории гравитации с потенциалом

, и потенциал

сам по-себе полем не является, а есть лишь голая синтетика. В смысле Лагранжианом и энергией-импульсом обладают поля

и

, а

- не поле. Поэтому снимается "проблема" о том, что вот мол плотность энергии создаваемая "полем"

ненулевая, в то время как в ОТО плотность энергии нулевая - нету никакого поля

, а есть поля

и

, а у них другая плотность энергии и в случае

она нулевая.