Интересно было бы увидеть решение не через Маклорена
Рассмотрим степенной ряд

.
Это не "через Маклорена"! Я нигде не утверждаю и не использую, что коэффициенты ряда являются

Радиус круга сходимости ряда равен

(по формуле Коши-Адамара), ряд сходится при

.
В точке

ряд

сходится по признаку Лейбница.
В точке

ряд

расходится (гармонический ряд).
Теперь продифференцируем и проинтегрируем в области

- имеем право.


. Так как

, то

при

.
По непрерывности также получаем, что формула верна и в точке

.
Положив

, получаем ваш ряд.
P.S. На олимпиадную не тянет, imho