Найти сумму ряда

[Ktina]

Для каждого натурального $k$ найти сумму ряда

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n\cdot k^n}$$

[BatMan]

$ln(1+1/k)$

[Ktina]

BatMan в сообщении #717028 писал(а):

$ln(1+1/k)$

Интересно было бы увидеть решение не через Маклорена

[Legioner93]

Ktina в сообщении #717030 писал(а):

Интересно было бы увидеть решение не через Маклорена

Рассмотрим степенной ряд $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$.
Это не "через Маклорена"! Я нигде не утверждаю и не использую, что коэффициенты ряда являются $\dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}$

Радиус круга сходимости ряда равен $1$ (по формуле Коши-Адамара), ряд сходится при $|x|<1$.
В точке $x=1$ ряд $f(1)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ сходится по признаку Лейбница.
В точке $x=-1$ ряд $f(-1)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{-1}{n}$ расходится (гармонический ряд).

Теперь продифференцируем и проинтегрируем в области $|x|<1$ - имеем право.
$f'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{n-1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-x)^{n-1}=\dfrac{1}{1+x}$
$f(x)=\ln(1+x)+C$. Так как $f(0)=0$, то $f(x)=\ln(1+x)$ при $|x|<1$.
По непрерывности также получаем, что формула верна и в точке $x=1$.

Положив $x=\dfrac{1}{k}$, получаем ваш ряд.

P.S. На олимпиадную не тянет, imho

[Ktina]

Legioner93 в сообщении #717091 писал(а):

P.S. На олимпиадную не тянет, imho

Imho тоже, хотя на современных олимпиадах вошло в моду иногда предлагать стандартные задачи.

[BatMan]

Цитата:

Интересно было бы увидеть решение не через Маклорена

я и не говорил , что это Маклорен