задача на полноту

[SSSTTT]

Пускай $X$ - нормированное линейное пространство с замкнутой единичной сферой $B_X$. Пускай $B$ - банахово пространство, $T:X\rightarrow B$ непрерывная иньективная функция. Доказать что если $T(B_X)$ - замкнуто в $B$, то $X$ - полное пространство.

Все попытки решения упираются в то что я не могу связать замкнутось $T(B_X)$ и то что нужно доказать. Пробовал делить елементы последовательности Коши на их нормы, чтобы получить последовательность на единичной сфере, но это ни к чему не привело.

[provincialka]

А откуда же была последовательность Коши, если ее пришлось как-то преобразовывать?
Вспомните определение полноты пространства.

Неплохо также вспомнить определение замкнутости и свойства прообразов.

[SSSTTT]

Я беру последовательность Коши в X и хочу доказать что она имеет предел в X. Не знаю как привязать эту последовательность в единичной сфере которая по условию задачи обладает какими-то там свойствами.

[provincialka]

К сожалению, я не специалист и продвинутых теорем не помню. Но если уж никто не отвечает...
Может, поступить просто, использовать что-то вроде полярных координат? Запишем последовательность в виде $x_k=r_k\cdot e_k$, где $r_k=||x_k||$, а вектор $e_k$ - единичный.

Проверьте, как влияет фундаментальность \{$x_k\}$ на фундаментальность $\{r_k\}, \{e_k\}$ и наоборот.