Относительная скорость

[lucien]

Ракета 1 движется от станции со скоростью $\vec{v}_1$. От ракеты 1 стартует ракета 2 со скоростью $\vec{v}_2$ относительно ракеты 1. Вопрос: какова относительная скорость ракеты 2 и станции? Вроде очевидно: по правилу сложения скоростей, скорость ракеты 2 будет $\vec{V}_1=\vec{v}_1\oplus\vec{v}_2$, где $\oplus$ -- значек релятивистского сложения. А какова скорость станции относительно ракеты 2? Тоже просто: повторяя рассуждения в обратном порядке получим $\vec{V}_2=(-\vec{v}_2)\oplus(-\vec{v}_1)\neq-\vec{V_1}$ (т.к. релятивистское сложение не коммутативно). Скорости $\vec{V}_1$ и $\vec{V}_2$ одинаковы по величине, но отличаются по направлению (поворот Вигнера). Но вот тут и непонятно: если я рассматриваю две материальные точки, то относительные их скорости должны быть равны (с точностью до знака). В ЛЛ2 написано: относительная скорость -- лоренцев инвариант. Что-то не сходится

[DimaM]

lucien в сообщении #713941 писал(а):

Тоже просто: повторяя рассуждения в обратном порядке получим $\vec{V}_2=(-\vec{v}_2)\oplus(-\vec{v}_1)\neq-\vec{V_1}$ (т.к. релятивистское сложение не коммутативно). Скорости $\vec{V}_1$ и $\vec{V}_2$ одинаковы по величине, но отличаются по направлению (поворот Вигнера).

Какие-то взаимоисключающие параграфы .
Из этих двух утверждений второе верно, первое неверно.

[lucien]

Цитата из ЛЛ2

Цитата:

величина относительной скорости не зависит от того, по отношению к какой из частиц она определяется.

Так чему равна относительная скорость в данном примере?

[warlock66613]

lucien в сообщении #713952 писал(а):

Так чему равна относительная скорость в данном примере?

Относительная скорость или величина относительной скорости?

[Munin]

warlock66613 в сообщении #713956 писал(а):

Относительная скорость или величина относительной скорости?

+1.

Пространство скоростей (поверхность $u_\mu u^\mu=1$) имеет геометрию пространства Лобачевского, и зовётся псевдосферой. Понимать её геометрию можно по аналогии с геометрией на сфере в обычном евклидовом пространстве. Сложение скоростей аналогично сложению "векторов конечной длины" на сфере. Переход от одной ИСО к другой - вращение сферы. Легко понять, что взяв два "вектора" в разном порядке, мы получим разные суммы, но одинаковой длины - отличающиеся только направлением. Также, относительная скорость как скалярная величина - задаёт только длину такого "вектора". Относительная скорость как 4-векторная величина не может называться инвариантом, поскольку зависит от системы координат: для неё терминология несколько иная: соотношения, в которые она входит, могут быть ковариантными (а не инвариантными), и она сама и эти соотношения могут быть записаны в бескоординатной форме.

[lucien]

Итак, можно говорить лишь о величине относительной скорости, но не о ее направлении. Тогда предлагаю новый вариант "парадокса".
Рассмотрим три системы отчета: $K_0$, $K_1$ и $K_2$, связанные со станцией, ракетой 1 и ракетой 2. Оси систем $K_0$ и $K_1$ всегда можно выбрать параллельными. Аналогично -- оси $K_1$ и $K_2$. Но оси $K_0$ и $K_2$ будут уже не параллельны -- поворот Вигнера.

$$ \vec{a}\parallel\vec{b}\parallel\vec{c}\quad\mbox{но}\quad \vec{a}\nparallel\vec{c}. $$

Удивительно, не прада ли?

[Munin]

lucien в сообщении #714598 писал(а):

Тогда предлагаю новый вариант "парадокса".

Нафига?

lucien в сообщении #714598 писал(а):

Оси систем $K_0$ и $K_1$ всегда можно выбрать параллельными. Аналогично -- оси $K_1$ и $K_2$.

Когда вы выбрали параллельными оси первой пары с. к., вы зафиксировали направление осей $K_1,$ и совершить второй выбор уже не можете. Если назвать $K_1'$ систему координат, движующуюся так же, как $K_1,$ но с другими направлениями пространственных осей, то вы можете выбрать параллельными оси $K_1'$ и $K_2,$ но оси $K_1$ и $K_1'$ будут не совпадать.

Это всё очевидно, если вспомнить, что для того, чтобы выбрать параллельными оси двух систем, надо, чтобы ось $x$ была направлена в направлении движения первой системы относительно второй (или наоборот). Но в системе $K_1$ направления скоростей станции и ракеты 2 неколлинеарны.

[rustot]

lucien в сообщении #713941 писал(а):

повторяя рассуждения в обратном порядке получим $\vec{V}_2=(-\vec{v}_2)\oplus(-\vec{v}_1)\neq-\vec{V_1}$

вроде равенство получим

$\frac{-v_2-v_1}{1+(-v_2)(-v_1)/c^2} = - \frac{v_1+v_2}{1+v_1 v_2/c^2}$

[lucien]

Munin в сообщении #714660 писал(а):

lucien в сообщении #714598 писал(а):

Оси систем $K_0$ и $K_1$ всегда можно выбрать параллельными. Аналогично -- оси $K_1$ и $K_2$.

Когда вы выбрали параллельными оси первой пары с. к., вы зафиксировали направление осей $K_1,$ и совершить второй выбор уже не можете.

Могу. Для этого достаточно вращать оси лишь одной СК (в данном случае $K_2$).

rustot в сообщении #714884 писал(а):

lucien в сообщении #713941 писал(а):

повторяя рассуждения в обратном порядке получим $\vec{V}_2=(-\vec{v}_2)\oplus(-\vec{v}_1)\neq-\vec{V_1}$

вроде равенство получим
$\frac{-v_2-v_1}{1+(-v_2)(-v_1)/c^2} = - \frac{v_1+v_2}{1+v_1 v_2/c^2}$

Это для одномерного движения. В общем случае так

$$ \boldsymbol{v}_1\oplus\boldsymbol{v}_2\equiv\frac{\boldsymbol{v}_2+\boldsymbol{v}_1\gamma_1+\Gamma_1\boldsymbol{v}_1(\boldsymbol{v}_1\boldsymbol{v}_2)}{\gamma_1(1+\boldsymbol{v}_1\boldsymbol{v}_2)} $$

где

$$ \gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2}}\,,\q \Gamma=\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\,, $$

[Munin]

lucien в сообщении #714964 писал(а):

Могу. Для этого достаточно вращать оси лишь одной СК (в данном случае $K_2$).

Нет, не можете. Потому что тогда факт параллельности осей будет выполнен в одной с. к., но не выполнен в другой. Чтобы он был выполнен в обеих, вам необходимо выбрать оси специального вида - я уже сказал, какие.

[lucien]

Munin в сообщении #715111 писал(а):

Нет, не можете. Потому что тогда факт параллельности осей будет выполнен в одной с. к., но не выполнен в другой.

Странные у вас представления о параллельности. Оси выбирают совпадающими. Интересно, как вы себе представляете: оси $K_1$ совпадают с осями $K_2$, а оси $K_2$ с $K_1$ не совпадают?
Вращение -- это относительное движение. Не имеет значения, что относительно чего вращать: А относительно Б или Б относительно А.

[Munin]

lucien в сообщении #715300 писал(а):

Странные у вас представления о параллельности. Оси выбирают совпадающими.

Ну допустим, мы имеем две системы координат $K_0^{(0)}$ и $K_1^{(0)},$ связанные преобразованиями Лоренца в направлении $(x,t),$ и две системы координат $K_0$ и $K_1,$ отличающиеся от соответствующих первых двух на чистый пространственный поворот каждая. Покажите мастер-класс: каким образом следует выбрать оси $K_1,$ чтобы они совпадали с осями $K_0,$ если пространственный поворот $K_0$ относительно $K_0^{(0)}$ - общего вида?

Когда вы решите эту задачу, вы поймёте, что я писал.

lucien в сообщении #715300 писал(а):

Вращение -- это относительное движение. Не имеет значения, что относительно чего вращать: А относительно Б или Б относительно А.

Вращение осей одной системы координат, движущейся относительно другой системы координат, из этой другой системы координат не выглядит вращением вообще.

Рекомендую вам задачник
Лайтман, Пресс, Прайс, Тюкольски "Сборник задач по теории относительности и гравитации",
и прорешать первую главу "Кинематика теории относительности". Ближе к концу главы там как раз задачи на эту тему (1.2, 1.23, 1.26-28).

[lucien]

Munin в сообщении #715446 писал(а):

Покажите мастер-класс: каким образом следует выбрать оси $K_1,$ чтобы они совпадали с осями $K_0,$ если пространственный поворот $K_0$ относительно $K_0^{(0)}$ - общего вида?

Пока что не ясно, что решать. Ваша формулировка задачи напоминает следующую: сколько будет 2+2, если в Африке лето? Каким образом ориентация осей $K_0^{(0)}$ и $K_1^{(0)}$ может повлиять на совпадение (или несовпадение) осей $K_0$ и $K_1$? Я могу на вводить еще три десятка СК, неужели от этого будет труднее добиться совпадения $K_0$ и $K_1$?

(Оффтоп)

Че-то содержательного диалога не получается. Задачки из Лайтмана я посмотрю, спасибо.

[Munin]

lucien в сообщении #715659 писал(а):

Пока что не ясно, что решать.

Да неважно, просто выпишите формулы. Всё дано: преобразования от $K_0^{(0)}$ к $K_1^{(0)},$ и от $K_0^{(0)}$ к $K_0.$ Впрочем, можно даже считать, что преобразования от $K_0^{(0)}$ к $K_0$ - поворот в плоскости $(x,y),$ вида

$$\left(\!\!\!\begin{array}{ccc}\mathop{\hphantom{-}}\cos\alpha&\sin\alpha&0\\-\sin\alpha&\cos\alpha&0\\\mathop{\hphantom{-}}0&0&1\end{array}\right)$$

-- 26.04.2013 17:56:48 --

(Оффтоп)

lucien в сообщении #715659 писал(а):

Че-то содержательного диалога не получается.

Содержательный диалог начнётся, когда вы поймёте, что решить задачу не можете, и задумаетесь, почему...