Период колебаний заряженного пузыря

[nikvic]

Кстати, а как насчёт "присоединённой массы"? Того воздуха, что снаружи (и куда уходит, как из громкоговорителя, "звуковая энергия")?
Получается не задача, а винегрет

[Omega]

DimaM в сообщении #715019 писал(а):

Далее надо проинтегрировать кинетическую энергию по пространству. Получится $\rho R_0^3v_0^2$ с коэффициентом, не сильно отличающимся от единицы.

DimaM, поясните пожалуйста этот момент, используя выкладки если не трудно. Заранее спасибо Вам.

DimaM в сообщении #715071 писал(а):

У воздуха таки 5/2

Да, конечно, прошу прощения, всё верно: я ошибся.

DimaM в сообщении #715071 писал(а):

А лапласовское давление в таком подходе чем уравновешивается?

...силой, действующей на единицу площади заряженной поверхности.

DimaM в сообщении #715071 писал(а):

Кстати, здесь во внутренней энергии газа будет полное давление, а не $\dfrac{4\sigma}{R_{0}}$.

Согласен, в итоге тогда получается, что

$$U=\dfrac{10\pi R_{0}^{3} \left (P+\dfrac{4 \sigma}{R_{0}}\right)}{3}$$

Но если всё же процесс изотермический, то эта энергия постоянна, и у меня поэтому возникает вопрос: какова же роль этой "постоянной" внутренней энергии воздуха в пузыре в ответе на вопрос задачи?

nikvic в сообщении #715295 писал(а):

Кстати, а как насчёт "присоединённой массы"?

Она-таки, по-моему даже больше чем масса самого пузыря.

nikvic в сообщении #715295 писал(а):

Получается не задача, а винегрет

Если у Вас какие-нибудь идеи насчёт того, чем же всё-таки стоит пренебречь в этой задаче для того, чтобы она хотя бы "решалась в приближении"?
Благодарю всех участников форума, что оказывают помощь.

[nikvic]

Omega в сообщении #715315 писал(а):

Она-таки, по-моему даже больше чем масса самого пузыря.

Дело не в массе, а в распределении скоростей. Оно считается, если скорость звука ооочень велика.

[DimaM]

Omega в сообщении #715315 писал(а):

DimaM в сообщении #715071 писал(а):
А лапласовское давление в таком подходе чем уравновешивается?
...силой, действующей на единицу площади заряженной поверхности.

Этой силой в уравнении уравновешивается избыточное давление газа. А есть еще поверхностное натяжение пленки - оно чем уравновешивается?

-- 25.04.2013, 17:58 --

nikvic в сообщении #715325 писал(а):

Дело не в массе, а в распределении скоростей. Оно считается, если скорость звука ооочень велика.

Для реальных пузырей, судя по всему, условие $\omega\gg c/R$ хорошо выполняется.

-- 25.04.2013, 18:02 --

Omega в сообщении #715315 писал(а):

DimaM в сообщении #715019 писал(а):
Далее надо проинтегрировать кинетическую энергию по пространству. Получится $\rho R_0^3v_0^2$ с коэффициентом, не сильно отличающимся от единицы.

DimaM, поясните пожалуйста этот момент, используя выкладки если не трудно. Заранее спасибо Вам.

Как-то так:
$v=v_0R_0^2/r^2, dE=\rho v^2/2\cdot 4\pi r^2 dr$. Далее интегрируем от $R_0$ до $\infty$, получается $2\pi\rho R_0^3v_0^2$.

[Omega]

DimaM в сообщении #715370 писал(а):

Как-то так:
$v=v_0R_0^2/r^2, dE=\rho v^2/2\cdot 4\pi r^2 dr$. Далее интегрируем от $R_0$ до $\infty$, получается $2\pi\rho R_0^3v_0^2$.

Большое спасибо. А как тогда можно посчитать эту же энергию газа внутри пузыря? И как же определить $v_{0}$?

DimaM в сообщении #715370 писал(а):

А есть еще поверхностное натяжение пленки - оно чем уравновешивается?

Давление на пузырь, обусловленное электростатическими силами:

$$p_{Q}=\dfrac{Q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}R_{0}^{4}}$$

Давление сил поверхностного натяжения:

$$p_{\sigma}=-\dfrac{4\sigma}{R_{0}}$$

Суммарное давление в равновесном состоянии равно нулю: $p_{0}=p_{\sigma}+p_{Q}=0$

[DimaM]

Omega в сообщении #715385 писал(а):

Давление на пузырь, обусловленное электростатическими силами:

$$p_{Q}=\dfrac{Q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}R_{0}^{4}}$$

Давление сил поверхностного натяжения:

$$p_{\sigma}=-\dfrac{4\sigma}{R_{0}}$$

Суммарное давление в равновесном состоянии равно нулю: $p_{0}=p_{\sigma}+p_{Q}=0$

Тогда должно быть давление газа внутри и снаружи одинаковое.

-- 25.04.2013, 18:25 --

Omega в сообщении #715385 писал(а):

И как же определить $v_{0}$?

Это скорость стенки пузыря.

-- 25.04.2013, 18:27 --

Omega в сообщении #715315 писал(а):

Если у Вас какие-нибудь идеи насчёт того, чем же всё-таки стоит пренебречь в этой задаче для того, чтобы она хотя бы "решалась в приближении"?

Например, считать, что все дело происходит в вакууме ;).

[Omega]

DimaM, я, к сожалению, что-то Вас совсем не понимаю: внутри давление газа - есть "наружнее" плюс "избыточное", снаружи, очевидно, - "наружнее". На стенку пузыря действует сила электростатического отталкивания и разность этих "внешних" и "внутренних" давлений помноженная на площадь, либо же просто эта "разность давлений" равна давлению на пузырь, обусловленному электростатическими силами; главное - эти силы уравновешиваются , в чём проблема, ведь всё же верно? Или я чего-то не понимаю?

DimaM в сообщении #715388 писал(а):

Например, считать, что все дело происходит в вакууме ;).

Пусть так. Каким же образом упрощается задача: не нужно считать кинетическую энергию газа снаружи, верно? И внутри, в пузыре, давление присутствует в газе лишь обусловленное поверхностным натяжением, так?

[Himfizik]

Omega в сообщении #714914 писал(а):

Или же задачу лучше решать через 2 закон Ньютона, а не "энергетически"?

Разница небольшая. Решите уже, в каком приближении задачу будете "мучить". Фактически от этого будет зависеть вид потенциала. Вы там какой-то уже писали. Постройте график $U(r)$, убедитесь, что есть "ямка". Вблизи минимума "ямки" потенциал представим в виде $\frac {k r^2}{2}$. Найдите "коэффициент квазиупругости". Дальше по формуле Томсона $T=2\pi \sqrt{\frac {m}{k}}$.

[DimaM]

Omega в сообщении #715391 писал(а):

DimaM, я, к сожалению, что-то Вас совсем не понимаю: внутри давление газа - есть "наружнее" плюс "избыточное", снаружи, очевидно, - "наружнее". На стенку пузыря действует сила электростатического отталкивания и разность этих "внешних" и "внутренних" давлений помноженная на площадь, либо же просто эта "разность давлений" равна давлению на пузырь, обусловленному электростатическими силами; главное - эти силы уравновешиваются , в чём проблема, ведь всё же верно?

Неверно.
Есть три силы, возникающие за счет:
- разности давлений газа
- электростатики
- поверхностного натяжения.
Вы постоянно одну из них забываете.

-- 26.04.2013, 12:49 --

Omega в сообщении #715391 писал(а):

Каким же образом упрощается задача: не нужно считать кинетическую энергию газа снаружи, верно? И внутри, в пузыре, давление присутствует в газе лишь обусловленное поверхностным натяжением, так?

Для упрощения я бы предложил считать, что внутри пузыря газа тоже нет. А то движение внутреннего газа учесть сложно, там точно нельзя предполагать несжимаемость.

[Omega]

DimaM в сообщении #715642 писал(а):

Есть три силы, возникающие за счет:
- разности давлений газа
- электростатики
- поверхностного натяжения.
Вы постоянно одну из них забываете.

Поясните пожалуйста, тогда как найти "правильный" равновесный радиус пузыря, если и внутри и снаружи пузыря есть газ?

[DimaM]

Omega в сообщении #715653 писал(а):

Поясните пожалуйста, тогда как найти "правильный" равновесный радиус пузыря, если и внутри и снаружи пузыря есть газ?

Не существует единственного "правильного" равновесного радиуса. Будет зависеть от способа приготовления пузыря.

Поэтому я и предлагаю выкинуть газ из рассмотрения вообще.

[Omega]

DimaM в сообщении #715656 писал(а):

Поэтому я и предлагаю выкинуть газ из рассмотрения вообще.

Предположим, что всё именно так. Что тогда? Следующее,надеюсь, точно верно?

$$\dfrac{Q^{2}}{32\pi^{2} \varepsilon_{0}R_{0}^{4}}=\dfrac{4\sigma}{ R_{0}} \Rightarrow R_{0} = \sqrt[3]{\dfrac{Q^{2}}{128\pi^{2} \varepsilon_{0} \sigma}}$$

Тогда полная энергия пузыря это:

$$W=\dfrac{Q^{2}}{8\pi \varepsilon_{0} R}+8 \pi \sigma R^{2} + \dfrac{m}{2}\left(\dfrac{dR}{dt}\right)^{2}$$

[DimaM]

Нормально. Теперь разложите (как выше уже советовали) потенциальную энергию вблизи точки равновесия, и получите искомую частоту.
Что-то вроде $\omega=\sqrt{8\pi\sigma/m}$.

[Omega]

DimaM, да у меня также получается именно ,что $\omega=\sqrt{\dfrac{8\pi \sigma}{m}}$
Что Вы скажите по этому поводу ( Задача 3 для 11 класса):

[DimaM]

Omega в сообщении #715696 писал(а):

Что Вы скажите по этому поводу

В прошлом сообщении я ошибся.
Правильно

$$U''=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0R^3}+16\pi\sigma,$$

что при $R=R_0$ дает $U''=48\pi\sigma$, и $\omega=\sqrt{U''/m}=\sqrt{48\pi\sigma/m}.$