Смысл преобразования Лежандра

[mclaudt]

nestoklon в сообщении #297888 писал(а):

mclaudt в сообщении #297809 писал(а):

Разве только в одном? Если для некой системы ввести замену $\dot x_i = z_i$, то результат будет тот же. Уравнений в 2 раза больше, но степень понижена. И где тут проявился Лежандр — неясно. И проявился ли вообще.

Нутром чую, будут проблемы. А где -- с ходу не понимаю. Может, проблемы будут в том что $z_i$ будет совершенно непонятным зверем -- ни вектор, ни ковектор? А преобразование нужно чтобы сделать из этого непонятно чего что-то что имеет геометрический смысл?.. Хотя может это и чушь. Надо подумать.

Думаю надо, ковектор тут вообще неясно к чему упомянут.

Ещё раз: вопрос в том, что отличает преобразование Лежандра, если к понижения порядка системы можно добиться простой подстановкой?

[paha]

Если я правильно помню то, чему меня учили, то преобразование Лежандра -- это отображение ${\mathcal L}:Fun(V)\to Fun(V^*)$, ставящее в соответствие функции на линейном пространстве функцию на двойственном по формуле

$$ {\mathcal L}f(p)=\sup_{x\in V}\Bigl(p(x)-f(x)\Bigr). $$

В случае выпуклых функций и рефлексивных пространств это преобразование инволютивно.

Конечно, можно модифицировать Лежандра для функций на линейных расслоениях, например, для расслоения $\pi:E\to B$ со слоем $V\simeq \pi^{-1}(q)=V_q$ из функции $f:E\to {\mathbb R}$ получим функцию:

$$ {\mathcal L}f(q,p)=\sup_{v\in V_q}\Bigl(\langle p,v\rangle_q-f(q,v)\Bigr) $$

на двойственном расслоении.

В случае касательного расслоения получим функцию на кокасательном, что и делается в классической механике для получения гамильтониана из лагранжиана.

Польза такого перехода в том, что на кокасательном расслоении имеется естественная симплектическая структура.

-- Пт мар 19, 2010 17:42:19 --

А симплектическая структура это не только скобки пуассона, но и прямая дорога к квантованию:^)

[paha]

Вот еще вспомнил, что преобразование Лежандра это идемпотентный аналог преобразования Фурье http://www.ict.nsc.ru/jct/getfile.php?id=315

А смысл тот же -- переход к функции на двойственном пространстве

[age]

mclaudt в сообщении #297664 писал(а):

Актуальность предложения заключается в том, что коллективными усилиями с зажравшихся "мэтров", паразитирующих на однажды понятых простых моделях, будет, наконец, содрано платье голого короля.

[Ales]

А можете придумать наипростейший образец преобразования Лежандра? Простой пример, но в тоже время содержащий всю суть: что это такое и для чего надо. Чтобы по этому примеру можно было научиться применять метод в других случаях. Мне кажется, что такие примеры лучше всего раскрывают смысл, или не так?

[glusm]

Мне тоже легче мыслить образами. Вот на эту тему неплохая статья - R.K.P. Zia, E.F. Redish, and S.R. McKay, “Making sense of the Legendre transform,” Am. J. Phys. 77, 614–622 (July 2009)

Выложил здесь http://dfiles.ru/files/ev476jc5w
Пока не потрут, можно качать.

[mclaudt]

Спасибо, её сразу тогда нашел.

(Оффтоп)

Депозит - это, правда, гнусно, если предумышленно.
PDF-ки статьи раскиданы по всему интернету.
http://scholar.google.ru/scholar?cluste ... as_sdt=0,5

[Ales]

В теоретической механике преобразование Лежандра нужно для того,
чтобы перейти от лагранжиана к гамильтониану.
При этом, на самом деле импульсы являются множителями Лагранжа.
Гораздо проще сразу вводить импульсы как множители Лагранжа,
и сразу получить из принципа Лагранжа принцип Гамильтона и принцип Мопертюи.

Поэтому лучше всего просто выкинуть из теоретической механики само понятие "преобразование Лежандра".
Может быть, в других местах оно и полезно, но только не в механике.

Кстати, кажется (но не уверен) метод Гамильтона-Якоби тоже бесполезная штука:
успех его достигается за счет того,
что в эллиптических координатах уровни энергии допускают запись, в которой разделяются переменные.

В связи с этим разумно переписать курсы и учебники.