Если я правильно помню то, чему меня учили, то преобразование Лежандра -- это отображение

, ставящее в соответствие функции на линейном пространстве функцию на двойственном по формуле

В случае выпуклых функций и рефлексивных пространств это преобразование инволютивно.
Конечно, можно модифицировать Лежандра для функций на линейных расслоениях, например, для расслоения

со слоем

из функции

получим функцию:

на двойственном расслоении.
В случае касательного расслоения получим функцию на кокасательном, что и делается в классической механике для получения гамильтониана из лагранжиана.
Польза такого перехода в том, что
на кокасательном расслоении имеется естественная симплектическая структура.
-- Пт мар 19, 2010 17:42:19 --А симплектическая структура это не только скобки пуассона, но и прямая дорога к квантованию:^)