В теме "ВТФ для n=3" (
topic60946.html) я дал доказательство с использованием кольца
.
Если
, где
,
и
- ненулевые, взаимно-простые целые числа, то
является квадратом целого числа, из чего следует, что
является квадратом в кольце
, а дальше, как говорится, дело техники.
В этой теме я предлагаю новое доказательство того, что
является квадратом в кольце
, которое не использует единственность разложения на простые множители в этом кольце.
Пусть
(1)
, где
- целое число.
Пусть
(2)
, где
- алгебраическое число.
Из (2) следует:
(3)
.
Из (3) и (1) следует:
(4)
Пусть
(5)
,
где коэффициенты
,
,
,
- алгебраические числа, обращающие это равенство в тождество, верное при любых значениях
.
Из (5) следует:
(6)
Из (6) следует
(7)
,
и
(8)
,
Из (4) и (5) следует, что один из сомножителей в правой части равенства (5) равен нулю.
Поскольку второй сомножитель получается из первого заменой
на
и
на
, то, без ограничения общности, предположим, что первый сомножитель равен нулю.
То есть:
(9)
Пусть поле
.
Из второго равенства в (8) следует, что
.
Поскольку степень расширения
равна 3 или 6, то степень расширения
равна
или
или
.
Если многочлен (9) относительно
неразложим на множители с коэффициентами из поля
, то степень расширения
равна
или
, иначе степень расширения
равна
.
Покажем, что степень расширения
не равна
.
Предположим обратное, что степень расширения
равна
.
Тогда числа
и
удовлетворяют квадратным уравнениям с целыми коэффициентами, поэтому система уравнений (8) превращается в линейную систему уравнений относительно неизвестных
и
, решением которой являются рациональные числа.
Следовательно, степень расширения
равна
, что противоречит предположению.
Значит если многочлен (9) относительно
неразложим на множители с коэффициентами из поля
, то степень расширения
равна
, иначе степень расширения
равна
.
В обоих случаях:
(10) степень расширения
равна
.
Из (2) и (10) следует, что
, что и требовалось доказать.