Бесконечность простых в последовательности многочленов

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #708733 писал(а):

vicvolf, у Вас сменился смысл обозначения $P(f,2,x)$.

Да, я сейчас вернусь к старым обозначениям.
Таким образом, я показал, что асимптотическая плотность простых чисел g(n) в последовательности линейных многочленов 2-ого и 3-его типа $f(n)=kn+l,(k,l)=1$:
$P(g\cap f/f,2,x)\geq \frac {1} {\ln(x)}.$, т.е плотности простых чисел в натуральном ряде.
А асимптотическая плотность простых чисел g(n) в последовательности линейных многочленов 3-его типа $f(n)=kn+l,(k,l)=1$:
$P(g\cap f/f,2,x)\geq \frac {2} {\ln(x)},$, т.е плотности простых чисел в последовательности нечетных чисел, так как в этом случае k - четное число. Смотрите утверждение 1 и следствие из него.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #707474 писал(а):

vicvolf в сообщении #707439 писал(а):

ошибка состояла в некорректном применении понятия "условная вероятность".

Почему же некорректно?
Если перейти к вероятностной мере, то мы сейчас доказали, что вероятность того, что число x является простым числом, при условии, что оно принадлежит последовательности линейных многочленов 3-его типа $kn+l, (k,l)=1$, который принимает нечетные значения - $P(A/B)>P(A)$, где P(A) - вероятность того, что число x является простым в натуральном ряде чисел.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #709146 писал(а):

Почему же некорректно?

Разбирайтесь сами.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #709165 писал(а):

vicvolf в сообщении #709146 писал(а):

Почему же некорректно?

Разбирайтесь сами.

Нечего разбираться. Все записано верно!

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #709174 писал(а):

Нечего разбираться.

Ну, не хотите, и не надо. Дальше без меня.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #709176 писал(а):

vicvolf в сообщении #709174 писал(а):

Нечего разбираться.

Ну, не хотите, и не надо. Дальше без меня.

В любом случае я Вам очень благодарен за советы по улучшению работы!

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #709212 писал(а):

я Вам очень благодарен за советы по улучшению работы

Это не были советы по улучшению работы, ибо работы как таковой нет --- ничего содержательного Вы не доказали. Это были советы по улучшению текста --- он стал более читабельным.

[vicvolf]

Продолжение

Просеивание простых чисел линейными последовательностями вида $g(n)=kn+l, (k,l)=1$ можно сравнить с просеиванием их гребнем с постоянной толщиной зубьев. Так как в случае просеивания линейными последовательностями данного асимптотическая плотность простых чисел возрастает в $k/\varphi(k)$ раз, т.е. постоянное число раз.
Просеивании простых чисел в натуральном ряде нелинейными последовательностями $g(n)$ в общем случае можно сравнить с просеиванием их гребнем с переменной толщиной зубьев.
Если для нелинейныхпоследовательностей $g^{(2)}(n)>0$, то при возрастании n коэффициент касательной к $g(n)$ в каждой точке является возрастающей величиной, т.е толщина зубьев является возрастает с ростом n.
Конечно при просеивании простых чисел в натуральном ряде нелинейными последовательностями могут оставаться одни составные числа. Будем рассматривать нелинейные последовательности, для которых это не выполняется. К данным последовательностям относится многочлен - $4n^2+1$.

[vicvolf]

Были проблемы с Интернет, поэтому исправлю ошибки.

Просеивание простых чисел линейными последовательностями вида $g(n)=kn+l, (k,l)=1$ можно сравнить с просеиванием их гребнем с постоянной толщиной зубьев. Так как в случае просеивания линейными последовательностями, асимптотическая плотность простых чисел возрастает в $k/\varphi(k)$ раз, т.е. в постоянное число раз.
Просеивании простых чисел в натуральном ряде нелинейными последовательностями $g(n)$ в общем случае можно сравнить с просеиванием их гребнем с переменной толщиной зубьев.
Если для нелинейных последовательностей $g^{(2)}(n)>0$, то при возрастании n коэффициент касательной к $g(n)$ в каждой точке является возрастающей величиной, т.е в этом случае, толщина зубьев возрастает с ростом n.
Конечно при просеивании простых чисел в натуральном ряде нелинейными последовательностями могут оставаться одни составные числа. Будем рассматривать нелинейные последовательности, для которых это не выполняется. К данным последовательностям относится многочлен - $4n^2+1$.

[vicvolf]

Продолжение

Для последовательности $g(n)=4n^2+1$ вторая производная $g^{(2)}(n)=8>0$, т.е данная последовательность относится к типу последовательностей, у которых коэффициент наклона касательной к $g(n)$ при увеличении n возрастает.
Коэффициент наклона касательной в каждой точке к многочлену $k_m$ определяется значением первой производной, которая для данного многочлена равна $k_m=g^{(1)}(n)=8n$. При n=2 значение $g^{(1)}(2)=16=2^4$, поэтому асимптотическая плотность простых чисел в точке 2 на основании следствия утверждения 1 равна $2/\ln(x)$.
Утверждение 2
При n>2 асимптотическая плотность простых чисел f(n) в последовательности многочлена $g(n)=4n^2+1$ не убывает.
Доказательство
При n>2 коэффициент наклона касательной к многочлену $k_m=g^{(1)}(n)=2^4(n-1)$.
Поэтому отношение $k_m/\varphi(k_m)=2^4(n-1)/2^3\varphi(n-1)=2(n-1)/\varphi(n-1)$.
На основании утверждения 1: $(n-1)/\varphi(n-1)\geq 1$, поэтому $k_m/\varphi(k_m)=2(n-1)/\varphi(n-1)\geq 2$, т.е асимптотическая плотность простых чисел в последовательности данного многочлена не меньше, чем $2/\ln(x)$. ч.т.д. или больше асимптотической плотности простых чисел в натуральном ряде.
Последнее проверено мною на интервале натурального ряда до 50000.

[vicvolf]

Из последнего сообщения вытекает бесконечность количества простых чисел в последовательности, образованной многочленом 3-его типа $4n^2+1$. Почему форум молчит? Что все согласны с доказательством и нет аргументированных возражений?

[megamix62]

Для ЗАТРАВКИ
Возьмем числа Ферма , если простых будет бесконечно...
то они наверное будут вида $4\cdot n^2+1$

ИЛИ как мы знаем все кроме 4-х первых числел Ферма - составные, пока ...
составных чисел Ферма - бесконечно и все они разлагаются на простые вида
$p=k\cdot 2^{s+2}+1$, если среди них будут $n^2=k\cdot 2^{s}$

то их будет бесконечно...они наверное будут вида $4\cdot n^2+1$

[vicvolf]

megamix62 в сообщении #715514 писал(а):

Для ЗАТРАВКИ
Возьмем числа Ферма , если простых будет бесконечно...
то они наверное будут вида $4\cdot n^2+1$

Это из чего следует?

Цитата:

ИЛИ как мы знаем все кроме 4-х первых числел Ферма - составные, пока ...
составных чисел Ферма - бесконечно и все они разлагаются на простые вида
$p=k\cdot 2^{s+2}+1$, если среди них будут $n^2=k\cdot 2^{s}$
то их будет бесконечно...они наверное будут вида $4\cdot n^2+1$

Т.е. Вы говорите, что простых вида $4\cdot n^2+1$ наверно бесконечно много, т.е. высказываете такую гипотезу. Я с Вами согласен. Больше того я сделал попытку доказательства этой гипотезы. По доказательству мною этой гипотезы есть вопросы или замечания?

[megamix62]

vicvolf в сообщении #712215 писал(а):

Продолжение

Для последовательности $g(n)=4n^2+1$ вторая производная $g^{(2)}(n)=8>0$, т.е данная последовательность относится к типу последовательностей, у которых коэффициент наклона касательной к $g(n)$ при увеличении n возрастает.
Коэффициент наклона касательной в каждой точке к многочлену $k_m$ определяется значением первой производной, которая для данного многочлена равна $k_m=g^{(1)}(n)=8n$. При n=2 значение $g^{(1)}(2)=16=2^4$, поэтому асимптотическая плотность простых чисел в точке 2 на основании следствия утверждения 1 равна $2/\ln(x)$.
Утверждение 2
При n>2 асимптотическая плотность простых чисел f(n) в последовательности многочлена $g(n)=4n^2+1$ не убывает.
Доказательство
При n>2 коэффициент наклона касательной к многочлену $k_m=g^{(1)}(n)=2^4(n-1)$.
Поэтому отношение $k_m/\varphi(k_m)=2^4(n-1)/2^3\varphi(n-1)=2(n-1)/\varphi(n-1)$.
На основании утверждения 1: $(n-1)/\varphi(n-1)\geq 1$, поэтому $k_m/\varphi(k_m)=2(n-1)/\varphi(n-1)\geq 2$, т.е асимптотическая плотность простых чисел в последовательности данного многочлена не меньше, чем $2/\ln(x)$. ч.т.д. или больше асимптотической плотности простых чисел в натуральном ряде.
Последнее проверено мною на интервале натурального ряда до 50000.

$k_m=g^{(1)}(n)=8n$
$k_m=g^{(1)}(n)=2^4(n-1)$

[vicvolf]

megamix62 в сообщении #716373 писал(а):

$k_m=g^{(1)}(n)=8n$
$k_m=g^{(1)}(n)=2^4(n-1)$

Спасибо, это ошибка. Исправлю.
Утверждение 2
При n>2 асимптотическая плотность простых чисел f(n) в последовательности многочлена $g(n)=4n^2+1$ не убывает.
Доказательство
При n>2 коэффициент наклона касательной к многочлену $k_m=g^{(1)}(n)=8n$.
Поэтому отношение $k_m/\varphi(k_m)=8n/2^2\varphi(n)=2n/\varphi(n)$.
На основании утверждения 1: $n/\varphi(n)\geq 1$, поэтому $k_m/\varphi(k_m)=2n/\varphi(n)\geq 2$, т.е асимптотическая плотность простых чисел в последовательности данного многочлена не меньше, чем $2/\ln(x)$ ч.т.д

Интересно мнение по просеванию простых чисел нелинейными многочленами, как модели просеивания гребнем с переменной толщиной зубьев?